Реши задание на изображении
На фото полностью виден вариант I — решаю его.
Ответы:
- \(S_{ABC}=10\)
- \(\sin B=0{,}55\)
- \(AC=22\)
- \(BC=10\)
1) Площадь через две стороны и угол между ними
\[ S=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin\angle ABC \] Подставляем: \[ S=\frac12\cdot 6\cdot 10\cdot \frac13=10 \]
2) Синус в прямоугольном треугольнике
\(\angle C=90^\circ\), значит \(AB=20\) — гипотенуза.
Против угла \(B\) лежит катет \(AC\):
\[
\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{11}{20}=0{,}55
\]
3) Теорема синусов
Сторона \(BC\) лежит против угла \(A\), а \(AC\) — против угла \(B\): \[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B} \] Отсюда: \[ AC=BC\cdot \frac{\sin B}{\sin A} =11\sqrt2\cdot \frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ} \] \[ AC=11\sqrt2\cdot \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=11\sqrt2\cdot \sqrt2=22 \]
4) Теорема косинусов
Угол \(A\) находится между сторонами \(AB\) и \(AC\), а \(BC\) — противолежащая сторона: \[ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A \] \[ BC^2=17^2+10^2-2\cdot17\cdot10\cdot0{,}85 \] \[ BC^2=289+100-289=100 \] \[ BC=10 \]
Проверка для 4-й задачи: \[ \cos A=\frac{17^2+10^2-10^2}{2\cdot17\cdot10} =\frac{289}{340}=0{,}85 \] Всё сходится.
Что запомнить:
- две стороны и угол между ними — площадь через синус;
- прямоугольный треугольник — синус как отношение катет/гипотенуза;
- два угла и сторона — теорема синусов;
- две стороны и угол между ними, ищем третью — теорема косинусов.
Обсуждение
2 сообщенияРеши с дано найти и решение
Ниже — оформление каждого задания по схеме «Дано — Найти — Решение — Ответ». Это вариант I.
Задача 1
Дано:
В треугольнике \(ABC\):
\[
AB=6,\qquad BC=10,\qquad \sin\angle ABC=\frac13.
\]
Найти:
\[
S_{ABC}
\]
Решение:
Площадь треугольника можно найти через две стороны и синус угла между ними:
\[
S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin\angle ABC.
\]
Подставляем данные:
\[
S_{ABC}=\frac12\cdot 6\cdot 10\cdot \frac13.
\]
Считаем:
\[
S_{ABC}=3\cdot 10\cdot \frac13=10.
\]
Ответ:
\[
\boxed{S_{ABC}=10}
\]
Задача 2
Дано:
В треугольнике \(ABC\):
\[
\angle C=90^\circ,\qquad AC=11,\qquad AB=20.
\]
Найти:
\[
\sin B
\]
Решение:
Так как \(\angle C=90^\circ\), треугольник прямоугольный, а \(AB\) — гипотенуза.
Против угла \(B\) лежит катет \(AC\). Поэтому \[ \sin B=\frac{AC}{AB}. \] Подставляем: \[ \sin B=\frac{11}{20}=0{,}55. \]
Ответ:
\[
\boxed{\sin B=0{,}55}
\]
Задача 3
Дано:
В треугольнике \(ABC\):
\[
BC=11\sqrt2,\qquad \angle A=30^\circ,\qquad \angle B=45^\circ.
\]
Найти:
\[
AC
\]
Решение:
По теореме синусов:
\[
\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}.
\]
Выразим \(AC\):
\[
AC=BC\cdot \frac{\sin B}{\sin A}.
\]
Подставляем:
\[
AC=11\sqrt2\cdot \frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}.
\]
Так как
\[
\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin30^\circ=\frac12,
\]
получаем:
\[
AC=11\sqrt2\cdot \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}
=11\sqrt2\cdot \sqrt2=22.
\]
Ответ:
\[
\boxed{AC=22}
\]
Задача 4
Дано:
В треугольнике \(ABC\):
\[
AB=17,\qquad AC=10,\qquad \cos\angle A=0{,}85.
\]
Найти:
\[
BC
\]
Решение:
По теореме косинусов:
\[
BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos\angle A.
\]
Подставляем данные:
\[
BC^2=17^2+10^2-2\cdot17\cdot10\cdot0{,}85.
\]
Считаем:
\[
BC^2=289+100-289=100.
\]
Значит,
\[
BC=\sqrt{100}=10.
\]
Ответ:
\[
\boxed{BC=10}
\]
Итоговые ответы
- \(\boxed{S_{ABC}=10}\)
- \(\boxed{\sin B=0{,}55}\)
- \(\boxed{AC=22}\)
- \(\boxed{BC=10}\)
