Упр 312,318
Ответ
№ 312
а) \(x\in\left(-7;-\dfrac14\right)\)
б) \(x\in\left(-\infty;\dfrac32\right]\cup\left[\dfrac53;+\infty\right)\)
в) \(x\in(-\infty;+\infty)\), то есть любое \(x\)
г) \(x\in\left(-\infty;\dfrac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup\left(\dfrac{9+\sqrt{37}}{22};+\infty\right)\)
№ 318
Пусть меньшая сторона равна \(a\) см, тогда другая \(a+7\) см.
\(0<a\le 5\) см.
Если нужны целые значения, то \(1,2,3,4,5\) см.
Как это получается
Для квадратного неравенства:
- переносим всё в одну сторону;
- приводим подобные;
- находим корни;
- смотрим знак параболы: при положительном старшем коэффициенте она положительна вне корней и отрицательна между корнями.
№ 312 а)
\[ 3x^2+40x+10<-x^2+11x+3 \]
\[ 4x^2+29x+7<0 \]
\[ D=29^2-4\cdot4\cdot7=729=27^2 \]
Корни:
\[ x_1=-7,\qquad x_2=-\frac14 \]
Так как знак <, берём промежуток между корнями:
\[ x\in\left(-7;-\frac14\right) \]
№ 312 б)
\[ 9x^2-x+9\ge 3x^2+18x-6 \]
\[ 6x^2-19x+15\ge0 \]
\[ D=(-19)^2-4\cdot6\cdot15=1 \]
Корни:
\[ x_1=\frac32,\qquad x_2=\frac53 \]
Знак ≥, значит берём промежутки вне корней, корни включаем:
\[ x\in\left(-\infty;\frac32\right]\cup\left[\frac53;+\infty\right) \]
№ 312 в)
Раскроем правую часть:
\[ (3x-5)(2x+6)=6x^2+8x-30 \]
Получаем:
\[ 2x^2+8x-111<6x^2+8x-30 \]
\[ -4x^2-81<0 \]
или
\[ 4x^2+81>0 \]
Это верно при любом \(x\), поэтому:
\[ x\in\mathbb R \]
№ 312 г)
Раскрываем скобки:
\[ (5x+1)(3x-1)=15x^2-2x-1 \]
\[ (4x-1)(x+2)=4x^2+7x-2 \]
Неравенство:
\[ 15x^2-2x-1>4x^2+7x-2 \]
\[ 11x^2-9x+1>0 \]
\[ D=(-9)^2-4\cdot11\cdot1=37 \]
Корни:
\[ x_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{37}}{22} \]
Так как знак >, берём промежутки вне корней:
\[ x\in\left(-\infty;\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right) \cup \left(\frac{9+\sqrt{37}}{22};+\infty\right) \]
№ 318 подробно
Пусть меньшая сторона \(a\) см. Тогда большая сторона \(a+7\) см.
Площадь:
\[ S=a(a+7) \]
По условию:
\[ a(a+7)\le60 \]
\[ a^2+7a-60\le0 \]
Найдём корни:
\[ a^2+7a-60=0 \]
\[ D=49+240=289=17^2 \]
\[ a_1=5,\qquad a_2=-12 \]
Парабола ветвями вверх, значит неравенство выполняется между корнями:
\[ -12\le a\le5 \]
Но сторона прямоугольника должна быть положительной:
\[ a>0 \]
Поэтому:
\[ 0<a\le5 \]
При \(a=5\) площадь:
\[ 5\cdot(5+7)=5\cdot12=60 \]
То есть граница \(5\) см подходит, а \(a=6\) см уже не подходит:
\[ 6\cdot13=78>60 \]
Ответ: меньшая сторона может быть больше \(0\) и не больше \(5\) см.
Обсуждение
2 сообщенияОна не скажет типа само решение где
Да, только ответы могут не засчитать — обычно нужно само решение. Вот в таком виде можно переписать в тетрадь.
№ 312
а)
\[ 3x^2+40x+10<-x^2+11x+3 \] Переносим всё влево: \[ 4x^2+29x+7<0 \] \[ D=29^2-4\cdot4\cdot7=729 \] \[ x_1=-7,\qquad x_2=-\frac14 \] Так как неравенство со знаком \(<\), берём промежуток между корнями: \[ \boxed{x\in\left(-7;-\frac14\right)} \]
б)
\[ 9x^2-x+9\ge 3x^2+18x-6 \] \[ 6x^2-19x+15\ge0 \] \[ D=(-19)^2-4\cdot6\cdot15=1 \] \[ x_1=\frac32,\qquad x_2=\frac53 \] Так как знак \(\ge\), берём промежутки вне корней, сами корни включаем: \[ \boxed{x\in\left(-\infty;\frac32\right]\cup\left[\frac53;+\infty\right)} \]
в)
\[ 2x^2+8x-111<(3x-5)(2x+6) \] Раскрываем скобки: \[ 2x^2+8x-111<6x^2+8x-30 \] \[ -4x^2-81<0 \] \[ 4x^2+81>0 \] Это верно при любом \(x\), поэтому: \[ \boxed{x\in\mathbb R} \]
г)
\[ (5x+1)(3x-1)>(4x-1)(x+2) \] Раскрываем скобки: \[ 15x^2-2x-1>4x^2+7x-2 \] \[ 11x^2-9x+1>0 \] \[ D=(-9)^2-4\cdot11\cdot1=37 \] \[ x_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{37}}{22} \] Так как знак \(>\), берём промежутки вне корней: \[ \boxed{x\in\left(-\infty;\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup\left(\frac{9+\sqrt{37}}{22};+\infty\right)} \]
№ 318
Пусть меньшая сторона равна \(x\) см.
Тогда большая сторона равна \(x+7\) см.
Площадь: \[ S=x(x+7) \] По условию площадь не больше \(60\) см²: \[ x(x+7)\le60 \] \[ x^2+7x-60\le0 \] Найдём корни: \[ x^2+7x-60=0 \] \[ D=49+240=289 \] \[ x_1=5,\qquad x_2=-12 \] Неравенство выполняется при: \[ -12\le x\le5 \] Но сторона должна быть положительной, значит: \[ x>0 \] Поэтому: \[ \boxed{0<x\le5} \]
Ответ: меньшая сторона может быть больше \(0\) и не больше \(5\) см.
Если нужны только целые значения, то \(1,2,3,4,5\) см.
