Сделай картинку с этими векторами и сантиметры
Готовый масштаб: 1 см на рисунке = 1 см. В задаче длины не заданы, поэтому берём удобные векторы. Ось \(Ox\) — вправо, \(Oy\) — вверх.
№ 776: \(x\) и \(y\) неколлинеарны
Пусть
\[
x=3\text{ см вправо},\qquad y=2\text{ см вверх}.
\]
Все векторы строй из одной точки \(O\). Концы стрелок:
| Вектор | Как идти от \(O\) | Конец, см | Длина |
|---|---|---|---|
| \(x\) | 3 см вправо | \((3;0)\) | 3 см |
| \(y\) | 2 см вверх | \((0;2)\) | 2 см |
| а) \(x+2y\) | 3 см вправо, 4 см вверх | \((3;4)\) | \(5\) см |
| б) \(\frac12y+x\) | 3 см вправо, 1 см вверх | \((3;1)\) | \(\sqrt{10}\approx3{,}16\) см |
| в) \(3x+\frac12y\) | 9 см вправо, 1 см вверх | \((9;1)\) | \(\sqrt{82}\approx9{,}06\) см |
| г) \(\frac12x-3y\) | 1,5 см вправо, 6 см вниз | \((1{,}5;-6)\) | \(\approx6{,}18\) см |
| д) \(0x+4y\) | 8 см вверх | \((0;8)\) | 8 см |
| е) \(-2x+0y\) | 6 см влево | \((-6;0)\) | 6 см |
Проверка для а):
\[
|x+2y|=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ см}.
\]
Стрелка рисуется из \(O\) в указанную точку.
№ 776: \(x\) и \(y\) коллинеарны
Пусть теперь оба вектора направлены вправо: \[ x=3\text{ см вправо},\qquad y=2\text{ см вправо}. \]
| Вектор | Конц, см | Длина |
|---|---|---|
| а) \(x+2y\) | 7 см вправо | 7 см |
| б) \(\frac12y+x\) | 4 см вправо | 4 см |
| в) \(3x+\frac12y\) | 10 см вправо | 10 см |
| г) \(\frac12x-3y\) | 4,5 см влево | 4,5 см |
| д) \(0x+4y\) | 8 см вправо | 8 см |
| е) \(-2x+0y\) | 6 см влево | 6 см |
Здесь все векторы лежат на одной прямой.
№ 777
Берём: \[ p=3\text{ см вправо},\qquad q=3\text{ см вверх}. \]
Начала \(p\) и \(q\) не совпадают: например, \(p\) из точки \(A(0;0)\), \(q\) из точки \(C(1;3)\). Для построения сумм переносим копии \(p\) и \(q\) в точку \(O\) — вектор от параллельного переноса не меняется.
| Вектор | Как построить | Конец, см | Длина |
|---|---|---|---|
| \(m=2p-\frac12q\) | 6 см вправо, 1,5 см вниз | \((6;-1{,}5)\) | \(\approx6{,}18\) см |
| \(n=p+3q\) | 3 см вправо, 9 см вверх | \((3;9)\) | \(\approx9{,}49\) см |
| \(l=-2p-\frac12q\) | 6 см влево, 1,5 см вниз | \((-6;-1{,}5)\) | \(\approx6{,}18\) см |
| \(s=\frac23q-p\) | 3 см влево, 2 см вверх | \((-3;2)\) | \(\approx3{,}61\) см |
Принцип:
- умножение на \(k\) меняет длину в \(|k|\) раз;
- при \(k<0\) направление меняется на противоположное;
- при сложении векторы приставляют друг к другу по правилу треугольника или достраивают параллелограмм;
- \(0x\) — нулевой вектор, он ничего не добавляет.
Проверь линейкой: например, \(x+2y\) при наших данных должно получиться ровно 5 см.
