Решить 59 номер

Краткие ответы:

а) \(-x-4\)
б) \(5-a\)
в) \(\dfrac{3}{a+b}\)
г) \(\dfrac{1}{x-8}\)
д) \(\dfrac{7a-b}{(a-b)^2}\)
е) \(\dfrac{2}{x+y}\)

Как это получается

Общее правило: если знаменатели одинаковые, то
\[ \frac{A}{C}-\frac{B}{C}=\frac{A-B}{C}. \] После вычитания числителя нужно упростить выражение, разложить на множители и сократить дробь.

1. а)
   \[ \frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4} =\frac{16-x^2}{x-4} =\frac{(4-x)(4+x)}{x-4}. \] Так как \(4-x=-(x-4)\), то \[ \frac{-(x-4)(x+4)}{x-4}=-(x+4)=-x-4. \]

2. б)
   \[ \frac{25}{a+5}-\frac{a^2}{a+5} =\frac{25-a^2}{a+5} =\frac{(5-a)(5+a)}{a+5}=5-a. \]

3. в)
   \[ \frac{3a-1}{a^2-b^2}-\frac{3b-1}{a^2-b^2} =\frac{3a-1-(3b-1)}{a^2-b^2} =\frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)} =\frac{3}{a+b}. \]

4. г)
   \[ \frac{x-3}{x^2-64}+\frac{11}{x^2-64} =\frac{x-3+11}{x^2-64} =\frac{x+8}{(x-8)(x+8)} =\frac{1}{x-8}. \]

5. д)
   \[ \frac{2a+b}{(a-b)^2}-\frac{2b-5a}{(a-b)^2} =\frac{2a+b-(2b-5a)}{(a-b)^2} =\frac{7a-b}{(a-b)^2}. \]

6. е)
   \[ \frac{13x+6y}{(x+y)^2}-\frac{11x+4y}{(x+y)^2} =\frac{2x+2y}{(x+y)^2} =\frac{2(x+y)}{(x+y)^2} =\frac{2}{x+y}. \]

Проверка: например, в пункте в) при \(a=2,\ b=1\) слева получаем
\(\frac{5}{3}-\frac{2}{3}=1\), справа \(\frac{3}{2+1}=1\). Всё сходится.

Не забывай про допустимые значения: знаменатели не должны быть равны нулю. Поэтому \(x\ne4\), \(a\ne-5\), \(a\ne\pm b\), \(x\ne\pm8\), \(x\ne -y\).