Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- \(32\)
- \(2\)
- \(13\)
- \(30\)
1. Параллелограмм с биссектрисой
Дано: в параллелограмме \(ABCD\) диагональ \(AC\) — биссектриса угла \(A\), \(AB=8\).
Так как \(AC\) — биссектриса: \[ \angle BAC=\angle CAD. \] Но \(AD\parallel BC\), поэтому \[ \angle CAD=\angle ACB \] как накрест лежащие. Значит, \[ \angle BAC=\angle ACB. \] Тогда в треугольнике \(ABC\) равны углы, значит, равны и противолежащие стороны: \[ AB=BC=8. \] В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому все стороны по \(8\), то есть это ромб.
\[ P=4\cdot 8=32. \]
Ответ: \(32\).
2. Высота равнобедренной трапеции
Пусть \(H\) — основание высоты из \(C\). Опустим ещё высоту \(BK\) из \(B\).
В равнобедренной трапеции: \[ AK=HD,\qquad KH=BC. \] На основании \(AD\): \[ AH=AK+KH=HD+BC. \] Отсюда \[ BC=AH-HD. \] Больший отрезок равен \(19\), меньший — \(17\), значит: \[ BC=19-17=2. \]
Ответ: \(2\).
3. Равнобедренная трапеция, угол \(45^\circ\)
Пусть \(BC=3\) — меньшее основание, \(AD\) — большее. Опустим две высоты; они образуют по краям два прямоугольных треугольника с углом \(45^\circ\).
При угле \(45^\circ\) катеты прямоугольного треугольника равны. Высота равна \(5\), значит, каждое боковое «выступающее» звено основания тоже равно \(5\).
\[ AD=5+3+5=13. \]
Ответ: \(13\).
4. Прямая, параллельная боковой стороне
Пусть \(BC=5\) — меньшее основание. Через точку \(C\) проведём \(CE\parallel AB\), где \(E\in AD\).
Тогда \(ABCE\) — параллелограмм, поэтому \[ AE=BC=5,\qquad CE=AB. \] Отсечённый треугольник — это \(CDE\), его периметр: \[ CE+CD+DE=20. \] Периметр трапеции: \[ P=AB+BC+CD+AD. \] Но \(AB=CE\), а \(AD=AE+DE=5+DE\). Тогда \[ P=CE+5+CD+(5+DE)= (CE+CD+DE)+10=20+10=30. \]
Ответ: \(30\).
Что важно запомнить
- Если диагональ параллелограмма является биссектрисой угла, то параллелограмм — ромб.
- В равнобедренной трапеции полезно опускать две высоты: получаются равные прямоугольные треугольники и прямоугольник между ними.
- Если через конец меньшего основания провести прямую параллельно боковой стороне, трапеция разбивается на параллелограмм и треугольник; их периметры связаны через меньшее основание.
Обсуждение
2 сообщенияРеши с дано и решением
Ниже — те же четыре задачи, оформленные так, как обычно записывают в тетради: Дано → Найти → Решение → Ответ.
Задача 1
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(AC\) — биссектриса \(\angle BAD\), \(AB=8\).
Найти: \(P_{ABCD}\).
Решение:
- \(AC\) — биссектриса, поэтому \(\angle BAC=\angle CAD\).
- \(AD\parallel BC\), \(AC\) — секущая, значит \(\angle CAD=\angle BCA\) (накрест лежащие).
- Следовательно, \(\angle BAC=\angle BCA\), и в \(\triangle ABC\) против равных углов лежат равные стороны: \[ BC=AB=8. \]
- В параллелограмме противоположные стороны равны, значит все стороны по \(8\) — это ромб.
- Периметр: \[ P=4\cdot 8=32. \]
Ответ: \(32\).
Задача 2
Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(AD\parallel BC\), \(AB=CD\); \(CH\perp AD\), причём \(AH=19\), \(HD=17\).
Найти: \(BC\).
Решение:
- Проведём вторую высоту \(BK\perp AD\). Прямоугольные треугольники \(ABK\) и \(DCH\) равны по гипотенузе (\(AB=CD\)) и острому углу (\(\angle A=\angle D\)). Значит \[ AK=HD=17. \]
- \(BK\parallel CH\) (обе перпендикулярны \(AD\)), а \(BC\parallel KH\), поэтому \(KBCH\) — прямоугольник, откуда \[ KH=BC. \]
- По рисунку: \[ AH=AK+KH=17+BC. \] Тогда \[ BC=AH-AK=19-17=2. \]
Ответ: \(2\).
Задача 3
Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(AD\parallel BC\), \(\angle A=\angle D=45^\circ\); высота \(BK=CH=5\); меньшее основание \(BC=3\).
Найти: \(AD\).
Решение:
- Так как \(BK\perp AD\) и \(CH\perp AD\), то \(BK\parallel CH\), а \(BC\parallel KH\). Значит \(KBCH\) — прямоугольник и \[ KH=BC=3. \]
- В прямоугольном \(\triangle ABK\): \(\angle A=45^\circ\), значит \(\angle ABK=45^\circ\), треугольник равнобедренный: \[ AK=BK=5. \] Аналогично \(HD=CH=5\).
- Большее основание: \[ AD=AK+KH+HD=5+3+5=13. \]
Ответ: \(13\).
Задача 4
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\), \(BC=5\); через точку \(C\) проведена прямая \(CE\parallel AB\), \(E\in AD\); \(P_{\triangle CDE}=20\).
Найти: \(P_{ABCD}\).
Решение:
- В четырёхугольнике \(ABCE\): \(BC\parallel AE\) (так как \(AE\subset AD\)) и \(AB\parallel CE\), значит \(ABCE\) — параллелограмм. Поэтому \[ CE=AB,\qquad AE=BC=5. \]
- Тогда \[ AD=AE+ED=5+ED. \]
- Периметр отсечённого треугольника: \[ CE+CD+ED=20. \]
- Периметр трапеции: \[ P=AB+BC+CD+AD=CE+5+CD+(5+ED). \] Группируем: \[ P=(CE+CD+ED)+10=20+10=30. \]
Ответ: \(30\).
Если нужно, могу дополнительно сделать к каждой задаче чертёж-схему словами — какие точки и отрезки отметить.
