Как умножать дробь на дробь
Кратко: чтобы умножить дробь на дробь, перемножь числители и перемножь знаменатели:
\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}, \qquad b\ne0,\ d\ne0. \]
Общий знаменатель искать не нужно — это важно только при сложении и вычитании.
Как делать по шагам
- Запиши произведение под общей дробной чертой: \[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}. \]
- По возможности сократи множители до умножения — так числа будут меньше.
- Перемножь оставшиеся числа.
- Если получилась неправильная дробь, выдели целую часть. Смешанные числа сначала переведи в неправильные дроби.
Пример
\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10} \]
Сократим до умножения: \(2\) и \(10\) делятся на \(2\), \(9\) и \(3\) — на \(3\):
\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10} = \frac{1}{1}\cdot\frac{3}{5} = \frac{3}{5}. \]
Проверка: \(\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}\), а в десятичном виде \(\frac{2}{3}\cdot0{,}9=0{,}6=\frac{3}{5}\).
Почему так работает: дробь \(\frac{c}{d}\) означает «взять \(c\) частей из \(d\)», а умножение на неё — взять такую долю от \(\frac{a}{b}\). При разрезании каждой из \(b\) частей на \(d\) долей всего получается \(b\cdot d\) маленьких долей, а берём \(a\cdot c\) таких долей. Поэтому и получается \(\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\).
Главное: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a c}{b d}\); сокращай, но не ищи общий знаменатель.
Обсуждение
2 сообщенияА умножать дороб на дробь с целыми
Кратко: дробь с целой частью (смешанное число) сначала превращаем в неправильную дробь, а потом умножаем как обычные дроби.
\[ a\frac{m}{n}=\frac{a\cdot n+m}{n} \]
То есть целую часть умножаем на знаменатель, прибавляем числитель — это новый числитель, а знаменатель остаётся тем же.
По шагам
- Переведи каждое смешанное число в неправильную дробь.
- Перемножь числители и знаменатели (можно сократить до умножения).
- Если ответ неправильный — выдели целую часть.
Пример
\[ 2\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4} \]
Шаг 1. Переводим \(2\frac{1}{3}\):
\[ 2\frac{1}{3}=\frac{2\cdot3+1}{3}=\frac{7}{3} \]
Шаг 2. Умножаем:
\[ \frac{7}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{7\cdot3}{3\cdot4}=\frac{21}{12} \]
Шаг 3. Сокращаем на \(3\):
\[ \frac{21}{12}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4} \]
Проверка: \(2\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{7}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{7}{4}=1{,}75\). Сходится.
Если оба числа смешанные
\[ 1\frac{1}{2}\cdot2\frac{2}{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{3}=\frac{3\cdot8}{2\cdot3}=\frac{24}{6}=4 \]
Частая ошибка: нельзя умножать отдельно целые части и отдельно дробные:
\[ 2\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}\ne 2\frac{1\cdot3}{3\cdot4} \]
Так делать нельзя: смешанное число — это одно число \(2+\frac13\), а не два множителя. Поэтому сначала всегда переводим его в неправильную дробь.
