Реши
Краткий ответ
- Признаки делимости:
| Число | Последняя цифра | Сумма цифр | на 2 | на 3 | на 5 | на 9 | на 10 | на 6 | на 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 126 | 6 | 9 | да | да | нет | да | нет | да | нет |
| 275 | 5 | 14 | нет | нет | да | нет | нет | нет | нет |
| 540 | 0 | 9 | да | да | да | да | да | да | да |
| 1001 | 1 | 2 | нет | нет | нет | нет | нет | нет | нет |
Простые числа: \(29,\ 97\).
Составные:
\[ 51=3\cdot 17,\qquad 121=11\cdot 11=11^2. \]Разложения на простые множители: \[ 126=2\cdot 3^2\cdot 7, \] \[ 90=2\cdot 3^2\cdot 5. \]
\[ \text{НОД}(126;90)=18,\qquad \text{НОК}(126;90)=630. \]
Да, числа \(35\) и \(48\) взаимно простые: \[ 35=5\cdot 7,\qquad 48=2^4\cdot 3, \] общих простых множителей у них нет, поэтому \(\text{НОД}(35;48)=1\).
Как это получается
1. Признаки делимости
Используем правила:
- на \(2\) — последняя цифра чётная;
- на \(5\) — последняя цифра \(0\) или \(5\);
- на \(10\) — последняя цифра \(0\);
- на \(3\) — сумма цифр делится на \(3\);
- на \(9\) — сумма цифр делится на \(9\);
- на \(6\) — число делится одновременно на \(2\) и на \(3\);
- на \(15\) — число делится одновременно на \(3\) и на \(5\).
Например, у \(126\) сумма цифр \(1+2+6=9\), поэтому оно делится на \(3\) и на \(9\), но не оканчивается на \(0\) или \(5\), значит, на \(5\), \(10\) и \(15\) не делится.
У \(540\) сумма цифр \(5+4+0=9\), последняя цифра \(0\), поэтому оно делится на все указанные числа.
2. Простые и составные числа
Чтобы проверить, простое ли число, достаточно проверить делители до \(\sqrt{n}\).
- \(29\) не делится на \(2,3,5\), значит, оно простое.
- \(51\) делится на \(3\), поэтому составное: \(51=3\cdot 17\).
- \(97\) не делится на \(2,3,5,7\), значит, простое.
- \(121=11^2\), поэтому составное.
3. Разложение на простые множители
Последовательно делим на простые числа:
\[ 126:2=63,\quad 63:3=21,\quad 21:3=7,\quad 7:7=1. \]
Отсюда \[ 126=2\cdot 3\cdot 3\cdot 7=2\cdot 3^2\cdot 7. \]
Аналогично: \[ 90:2=45,\quad 45:3=15,\quad 15:3=5,\quad 5:5=1, \] поэтому \[ 90=2\cdot 3^2\cdot 5. \]
4. НОД и НОК
Берём общие простые множители:
\[ 126=2\cdot 3^2\cdot 7,\qquad 90=2\cdot 3^2\cdot 5. \]
Для НОД берём общие множители в наименьших степенях: \[ \text{НОД}=2\cdot 3^2=18. \]
Для НОК берём все простые множители в наибольших степенях: \[ \text{НОК}=2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=630. \]
Проверка: \[ 18\cdot 630=11340=126\cdot 90. \]
5. Взаимно простые числа
Числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен \(1\).
\[ 35=5\cdot 7,\qquad 48=2^4\cdot 3. \]
Общих простых множителей нет, значит, \(\text{НОД}(35;48)=1\). Поэтому числа \(35\) и \(48\) взаимно простые.
