Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Сейчас разберём именно этот переход.

Что такое \(x\)

\(x\) — это неизвестное число, которое мы ищем. Уравнение \(x^2-5x+6=0\) — это условие: «подставь такое число вместо \(x\), чтобы получилось 0». Таких чисел может быть два — их и находим.

Откуда берётся формула

Есть общая формула корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\):

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\qquad D=b^2-4ac \]

Здесь \(x\) слева — по-прежнему то самое неизвестное, а справа стоят только известные числа \(a,b,c\). То есть формула говорит: «чтобы узнать \(x\), посчитай вот это выражение».

Подставляем наши числа

\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \]

\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]

\[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5\pm1}{2} \]

Знак \(\pm\) означает два варианта:

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Проверка, что это действительно корни

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]

Тот же результат без формулы (если формула пока непривычна). Выделим полный квадрат:

\[ x^2-5x=-6 \] \[ x^2-5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4}=\frac14 \] \[ \left(x-\frac52\right)^2=\frac14 \] \[ x-\frac52=\pm\frac12 \] \[ x=\frac52\pm\frac12 \;\Rightarrow\; x=2 \text{ или } x=3 \]

Здесь видно, откуда \(x\) берётся буквально: мы извлекаем корень из обеих частей и получаем \(x\) в чистом виде.

Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).