первый признак равенства треугольника

Важно: сам первый признак не «ломается». Он просто неприменим, если угол не лежит между равными сторонами. Вот пример.

Возьмём два треугольника \(ABC_1\) и \(ABC_2\), у которых:

\[ AB=6,\qquad AC_1=AC_2=5,\qquad \angle ABC_1=\angle ABC_2=30^\circ. \]

При этом угол \(30^\circ\) — это угол при вершине \(B\), а он не заключён между сторонами \(AB\) и \(AC\). Значит, первый признак применять нельзя.

Покажем, что такие треугольники могут быть разными. Пусть

\[ B=(0;0),\qquad A=(6;0). \]

Точка \(C\) лежит на луче из \(B\) под углом \(30^\circ\), то есть

\[ C=\left(\frac{\sqrt3}{2}t;\frac12t\right), \]

где \(t=BC\). Условие \(AC=5\) даёт:

\[ \left(6-\frac{\sqrt3}{2}t\right)^2+\left(\frac12t\right)^2=25. \]

После упрощения:

\[ t^2-6\sqrt3\,t+11=0, \]

откуда

\[ t=3\sqrt3\pm4. \]

То есть возможны два разных значения:

\[ BC_1=3\sqrt3+4\approx9{,}2, \qquad BC_2=3\sqrt3-4\approx1{,}2. \]

Получаются два различных треугольника, но в каждом:

\[ AB=6,\qquad AC=5,\qquad \angle B=30^\circ. \]

А равными они не являются, потому что \(BC_1\ne BC_2\).

Вывод: двух сторон и угла не между ними недостаточно для равенства треугольников. Первый признак требует, чтобы угол был именно между равными сторонами: например, \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\) и \(\angle A=\angle A_1\).

Главное правило: в задачах на равенство треугольников сначала ищут три пары равных элементов, а потом выбирают подходящий признак.

Три признака равенства треугольников

1. По двум сторонам и углу между ними
   \[ AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1 \] Тогда \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\).

2. По стороне и двум прилежащим углам
   \[ AB=A_1B_1,\quad \angle A=\angle A_1,\quad \angle B=\angle B_1 \]

3. По трём сторонам
   \[ AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1 \]

Как решать задачу: algorithm

1. Отметь на рисунке всё, что уже известно.
   Равные стороны — одинаковыми штрихами, равные углы — дугами.

2. Найди «скрытые» равные элементы.
   Часто в задачах помогают:

   • общая сторона;
   • вертикальные углы;
   • углы при параллельных прямых;
   • биссектриса, медиана, высота;
   • середина отрезка;
   • равенство треугольников, которое уже доказано раньше.

3. Посмотри, до какого признака не хватает одного элемента.
   Если не хватает стороны — докажи её равенство.
   Если не хватает угла — докажи равенство углов.

4. Запиши доказательство по шаблону.

Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\).

1. \(AB=AD\) — по условию.
2. \(AC\) — общая сторона.
3. \(\angle BAC=\angle DAC\) — по условию.
   Следовательно, \(\triangle ABC\cong\triangle ADC\) по двум сторонам и углу между ними.

5. Если нужно найти сторону или угол, используй то, что у равных треугольников соответствующие элементы равны.

Пример

Дано:

\[ AB=AD,\qquad \angle BAC=\angle DAC. \]

Доказать:

\[ \triangle ABC\cong\triangle ADC. \]

Доказательство:

• \(AB=AD\) — по условию;
• \(AC\) — общая сторона;
• \(\angle BAC=\angle DAC\) — по условию.

Угол \(\angle BAC\) лежит между сторонами \(AB\) и \(AC\), а \(\angle DAC\) — между \(AD\) и \(AC\). Значит, выполнены условия первого признака:

\[ \triangle ABC\cong\triangle ADC. \]

Отсюда, например, \(BC=DC\) и \(\angle B=\angle D\).

Что чаще всего ошибка

Нельзя писать «треугольники равны по двум сторонам и углу», если угол не находится между этими сторонами. Это не первый признак.

Ещё важно правильно записывать порядок вершин: если \(\triangle ABC\cong\triangle ADC\), то вершина \(B\) соответствует \(D\), а не случайной вершине.

Пришли конкретное задание — покажу решение по этим шагам и как правильно оформить его в тетради.