Реши задание на изображении
Кратко: \[ \text{а) }\frac{\pi}{2}\qquad \text{б) }\frac{\pi}{12}\qquad \text{в) }\frac{\pi}{2}\qquad \text{г) }-\frac{\pi}{3} \]
Как это решать
Главное правило:
\[ \arcsin x=\alpha \iff \sin\alpha=x,\quad -\frac{\pi}{2}\le \alpha\le \frac{\pi}{2} \]
\[ \arccos x=\alpha \iff \cos\alpha=x,\quad 0\le \alpha\le \pi \]
То есть мы ищем угол из указанного промежутка, синус или косинус которого равен данному числу.
а)
\[
\arcsin 0=0,\qquad \arccos 0=\frac{\pi}{2}
\]
Потому что \(\sin 0=0\), а \(\cos\frac{\pi}{2}=0\).
\[ 0+\frac{\pi}{2}=\boxed{\frac{\pi}{2}} \]
б)
\[
\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4}
\]
так как \(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}\).
\[ \arccos\frac12=\frac{\pi}{3} \] так как \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\).
Тогда: \[ -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3} =-\frac{3\pi}{12}+\frac{4\pi}{12} =\boxed{\frac{\pi}{12}} \]
в)
\[
\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3},\qquad
\arccos\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{6}
\]
\[ \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6} =\frac{2\pi}{6}+\frac{\pi}{6} =\boxed{\frac{\pi}{2}} \]
Можно было заметить общее свойство: \[ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2} \]
г)
\[
\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}
\]
так как \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\).
\[ \arccos\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{6} \]
\[ -\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6} =-\frac{3\pi}{6}+\frac{\pi}{6} =\boxed{-\frac{\pi}{3}} \]
Проверка принципа: для каждого ответа угол должен попадать в область значений арксинуса или арккосинуса, а его синус или косинус — совпадать с числом под знаком функции.
