Номер 6 и у нас молдавская программа
Ответ: а) \(x^2-2x\sqrt{11}+11\); б) \(x^2+2x\sqrt{11}+11\); в) \(x^2-2x\sqrt{11}+11\); г) \(x^2+2x\sqrt{11}+11\); д) \(x^2-2x\sqrt{11}+11\); е) \(x^2+2x\sqrt{11}+11\).
Как это получается Используем формулы квадрата суммы и разности: \[ (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2. \] Здесь \(a=x\), \(b=\sqrt{11}\), причём \((\sqrt{11})^2=11\). Знак перед удвоенным произведением \(2x\sqrt{11}\) определяется знаком между слагаемыми в скобке.
Полезно заметить, что квадрат не зависит от общего минуса и от порядка слагаемых: \[ (-x-\sqrt{11})^2=(x+\sqrt{11})^2, \] \[ (-x+\sqrt{11})^2=(\sqrt{11}-x)^2=(x-\sqrt{11})^2. \]
Раскрываем:
- а) \((x-\sqrt{11})^2=x^2-2x\sqrt{11}+11\);
- б) \((-x-\sqrt{11})^2=(-(x+\sqrt{11}))^2=(x+\sqrt{11})^2=x^2+2x\sqrt{11}+11\);
- в) \((-x+\sqrt{11})^2=(\sqrt{11}-x)^2=x^2-2x\sqrt{11}+11\);
- г) \((x+\sqrt{11})^2=x^2+2x\sqrt{11}+11\);
- д) \((\sqrt{11}-x)^2=x^2-2x\sqrt{11}+11\);
- е) \((\sqrt{11}+x)^2=x^2+2x\sqrt{11}+11\).
Проверка: при \(x=0\) все шесть выражений дают \(11\). При \(x=1\) выражения а), в), д) равны \(12-2\sqrt{11}\), а б), г), е) — \(12+2\sqrt{11}\). Это совпадает с раскрытыми формулами.
