Решай г,д

Кратко (для пунктов с кубическими корнями):

\[ \text{г) } \frac{a^{1/3}-b^{1/3}}{a+b}+\frac{1}{a^{2/3}-a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}} =\frac{2\sqrt[3]{a}}{a+b} \]

\[ \text{д) } \frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{a^{2/3}-\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}} =-\frac{3\sqrt[3]{ab}}{a+b} \]

Главный приём: обозначим

\[ x=\sqrt[3]{a},\qquad y=\sqrt[3]{b}. \]

Тогда

\[ a=x^3,\quad b=y^3,\quad a^{2/3}=x^2,\quad b^{2/3}=y^2,\quad \sqrt[3]{ab}=xy. \]

г)

\[ \frac{x-y}{x^3+y^3}+\frac{1}{x^2-xy+y^2} \]

Так как

\[ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2), \]

то

\[ \frac{x-y}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}+\frac{1}{x^2-xy+y^2} = \frac{x-y+x+y}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} \]

\[ =\frac{2x}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} =\frac{2x}{x^3+y^3} =\frac{2\sqrt[3]{a}}{a+b}. \]

д)

\[ \frac{1}{x+y}-\frac{x+y}{x^2-xy+y^2} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{x^2-xy+y^2-(x+y)^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}. \]

Раскроем квадрат:

\[ x^2-xy+y^2-(x^2+2xy+y^2)=-3xy. \]

Значит,

\[ \frac{-3xy}{x^3+y^3} =-\frac{3\sqrt[3]{ab}}{a+b}. \]

Проверка при \(a=8,\ b=1\):

• г) \(\frac{2-1}{9}+\frac{1}{4-2+1}=\frac19+\frac13=\frac49\), и формула даёт \(\frac{2\cdot2}{9}=\frac49\).
• д) \(\frac13-\frac{3}{3}=\frac13-1=-\frac23\), и формула даёт \(-\frac{3\cdot2}{9}=-\frac23\).

Ограничение: \(a+b\ne0\) (если в вашей теме считают \(a>0,\ b>0\), то это выполняется автоматически).