Реши 5,6,7,8

Ключевое правило. Для квадратного уравнения \(Ax^2+Bx+C=0\) дискриминант
\[ D=B^2-4AC. \] Если \(D>0\), корней два разных; если \(D=0\), корень один; если \(D<0\), действительных корней нет.

5. Когда уравнение имеет два корня

Нужно \(D>0\).

а) \(2x^2+6x+b=0\)
\[ D=36-8b>0 \Rightarrow b<\frac92. \]

б) \(5x^2-4x+3b=0\)
\[ D=16-60b>0 \Rightarrow b<\frac{4}{15}. \]

в) \(3x^2+bx+3=0\)
\[ D=b^2-36>0 \Rightarrow b<-6 \text{ или } b>6. \]

г) \(x^2+bx+5=0\)
\[ D=b^2-20>0 \Rightarrow b<-2\sqrt5 \text{ или } b>2\sqrt5. \]

6. Решение уравнений

1) \(2x^2-(a-1)x+a+1=0\), где \(a\) — параметр.
\[ D=(a-1)^2-8(a+1)=a^2-10a-7. \] Корни существуют при
\[ a\le 5-4\sqrt2 \quad \text{или} \quad a\ge 5+4\sqrt2, \] и тогда \[ x=\frac{a-1\pm\sqrt{a^2-10a-7}}{4}. \] При \(a=5\pm4\sqrt2\) корень один; при \(5-4\sqrt2<a<5+4\sqrt2\) действительных корней нет.

2) \(ax^2-(a+1)x+1=0\).
Разложим: \[ ax^2-(a+1)x+1=(x-1)(ax-1). \] Если \(a=0\), то \(x=1\).
Если \(a\ne0\), то \[ x=1 \quad \text{или} \quad x=\frac1a. \] При \(a=1\) корень \(x=1\) совпадает.

3) \(y^3-6y=0\): \[ y(y^2-6)=0 \Rightarrow y=0,\ \pm\sqrt6. \]

4) \(9x^3-18x^2-x+2=0\): \[ (x-2)(9x^2-1)=0 \Rightarrow x=2,\ \pm\frac13. \]

5) \(6x^4+3{,}6x^2=0\): \[ 6x^2(x^2+0{,}6)=0. \] Так как \(x^2+0{,}6>0\), остаётся \[ x=0. \]

6) \(y^4-y^3-16y^2+16y=0\): \[ y(y-1)(y^2-16)=0, \] \[ y=0,\ 1,\ 4,\ -4. \]

7. Когда уравнение имеет один корень

Нужно \(D=0\).

а) \(3x^2-6x+2b=0\): \[ D=36-24b=0 \Rightarrow b=\frac32. \]

б) \(5x^2+2bx+5=0\): \[ D=4b^2-100=0 \Rightarrow b=\pm5. \]

в) \(x^2-3bx+18=0\): \[ D=9b^2-72=0 \Rightarrow b=\pm2\sqrt2. \]

г) \(2x^2-12x+3b=0\): \[ D=144-24b=0 \Rightarrow b=6. \]

8. Когда уравнение не имеет корней

Нужно \(D<0\).

а) \(6x^2+bx+6=0\): \[ D=b^2-144<0 \Rightarrow -12<b<12. \]

б) \(12x^2+4x+b=0\): \[ D=16-48b<0 \Rightarrow b>\frac13. \]

в) \(2x^2-15x+b=0\): \[ D=225-8b<0 \Rightarrow b>\frac{225}{8}=28{,}125. \]

г) \(2x^2+bx+18=0\): \[ D=b^2-144<0 \Rightarrow -12<b<12. \]

Проверка: при \(b=\frac32\) в 7(а) получается
\[ 3x^2-6x+3=3(x-1)^2, \] то есть действительно один корень. А в 8(б) значение \(b=\frac13\) не входит: там \(D=0\), то есть корень один, а нужен случай без корней.