Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3.
\]
Как рассуждать:
Ищем два числа, которые:
- в произведении дают \(+6\),
- в сумме дают \(-5\) (коэффициент при \(x\), взятый с противоположным знаком в разложении).
Это числа \(-2\) и \(-3\).
Раскладываем квадратный трёхчлен: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Уравнение принимает вид: \[ (x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \] Отсюда: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка: \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Можно было решить и через дискриминант: \[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1, \] \[ x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2}, \] то есть \(x_1=3,\; x_2=2\).
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там
Похоже, непонятно, откуда взялись числа −2 и −3 при разложении:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Объясню подробнее.
Хотим записать трёхчлен в виде произведения двух скобок:
\[ x^2-5x+6=(x+a)(x+b). \]
Раскроем скобки:
\[ (x+a)(x+b)=x^2+bx+ax+ab=x^2+(a+b)x+ab. \]
Теперь сравним с нашим выражением:
\[ x^2-5x+6. \]
Чтобы выражения совпадали, нужно:
\[ a+b=-5, \] \[ ab=6. \]
То есть нужны два числа, которые:
- при сложении дают \(-5\);
- при умножении дают \(6\).
Это числа \(-2\) и \(-3\):
\[ (-2)+(-3)=-5, \] \[ (-2)\cdot(-3)=6. \]
Поэтому:
\[ (x+a)(x+b)=(x-2)(x-3). \]
Проверим раскрытием:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
Всё совпало.
Важно не путать:
- в скобках стоят \(-2\) и \(-3\);
- а корни уравнения — это \(2\) и \(3\), потому что:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \] \[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
То есть из записи
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
следует: либо \(x-2=0\), либо \(x-3=0\). Поэтому \(x=2\) или \(x=3\).
