Реши задание на изображении

Конечно. Ниже — те же решения, но с объяснением каждого шага: что делали и почему.

---

1. Точки пересечения графиков

Даны функции:

\[ y=\frac14x^2,\qquad y=5x-16 \]

Шаг 1. Понять, что значит «точка пересечения».

В точке пересечения оба графика проходят через одну и ту же точку, значит, при одном и том же \(x\) значения \(y\) равны. Поэтому приравниваем правые части:

\[ \frac14x^2=5x-16 \]

Шаг 2. Избавиться от дроби.

Умножаем обе части на 4:

\[ x^2=20x-64 \]

Шаг 3. Перенести всё в одну сторону.

\[ x^2-20x+64=0 \]

Шаг 4. Решить квадратное уравнение.

Ищем два числа, которые в произведении дают \(64\), а в сумме \(20\). Это \(4\) и \(16\):

\[ (x-4)(x-16)=0 \]

Отсюда:

\[ x_1=4,\qquad x_2=16 \]

Шаг 5. Найти \(y\).

Подставляем \(x\) в более простую функцию \(y=5x-16\):

• при \(x=4\):
  \[ y=5\cdot4-16=4 \]

• при \(x=16\):
  \[ y=5\cdot16-16=64 \]

Проверка по параболе:

\[ \frac14\cdot4^2=4,\qquad \frac14\cdot16^2=64 \]

Всё сходится.

Ответ: \((4;4)\) и \((16;64)\).

---

2. Функция \(y=x^2-6x+9\)

Шаг 1. Заметить формулу квадрата.

\[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]

Потому что \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), где \(a=x\), \(b=3\).

Значит,

\[ y=(x-3)^2 \]

Шаг 2. Понять, как выглядит график.

График \(y=(x-3)^2\) — это обычная парабола \(y=x^2\), сдвинутая вправо на 3.
Вершина находится там, где \((x-3)^2=0\), то есть в точке \((3;0)\).

Дальше отвечаем на пункты.

1) Значение при \(x=0{,}5\)

Подставляем:

\[ y=(0{,}5-3)^2=(-2{,}5)^2=6{,}25 \]

2) Значение \(x\) при \(y=-2\)

Решаем:

\[ (x-3)^2=-2 \]

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому равенство невозможно.
Действительных решений нет.

Можно проверить и через дискриминант:

\[ x^2-6x+9=-2 \]

\[ x^2-6x+11=0 \]

\[ D=36-44=-8<0 \]

Корней нет.

3) Нули функции

Нуль функции — это \(x\), при котором \(y=0\):

\[ (x-3)^2=0 \]

\[ x=3 \]

4) Промежутки знакопостоянства

Так как квадрат всегда \(\ge 0\):

• \(y>0\) при всех \(x\), кроме \(x=3\);
• \(y=0\) только при \(x=3\);
• \(y<0\) не бывает ни при каких \(x\).

---

3. Эскизы графиков

Общий план для параболы вида

\[ y=a(x-h)^2+k \]

такой:

• вершина — точка \((h;k)\);
• если \(a>0\), ветви вверх; если \(a<0\) — вниз;
• чем больше \(|a|\), тем парабола уже; чем меньше \(|a|\), тем шире;
• для эскиза достаточно вершины, оси симметрии и 2–3 точек.

а) \(y=4x^2\)

Здесь \(a=4\), вершина \((0;0)\), ветви вверх, парабола уже стандартной.

Точки:

\[ x=0\Rightarrow y=0 \]

\[ x=\pm1\Rightarrow y=4 \]

\[ x=\pm0{,}5\Rightarrow y=1 \]

Строим симметричную параболу с вершиной в начале координат.

б) \(y=\frac14x^2-3\)

Здесь \(a=\frac14\), вершина \((0;-3)\), ветви вверх, парабола шире стандартной.

Точки:

\[ x=0\Rightarrow y=-3 \]

\[ x=\pm2\Rightarrow y=\frac14\cdot4-3=1-3=-2 \]

\[ x=\pm4\Rightarrow y=\frac14\cdot16-3=4-3=1 \]

Дополнительно можно найти нули:

\[ \frac14x^2-3=0 \]

\[ x^2=12 \]

\[ x=\pm2\sqrt3\approx\pm3{,}46 \]

в) \(y=2(x+2)^2+3\)

Здесь \(a=2\), вершина \((-2;3)\), ветви вверх, парабола уже стандартной.
Ось симметрии: \(x=-2\).

Точки:

\[ x=-2\Rightarrow y=3 \]

\[ x=-3\Rightarrow y=2\cdot1+3=5 \]

\[ x=-1\Rightarrow y=2\cdot1+3=5 \]

\[ x=0\Rightarrow y=2\cdot4+3=11 \]

Так как минимальное значение равно \(3>0\), график не пересекает ось \(Ox\).

---

4. Бонус: упростить выражение

\[ \frac{3p^2+p-2}{4-9p^2} \]

Шаг 1. Разложить числитель.

\[ 3p^2+p-2 \]

Представим \(p\) как \(3p-2p\):

\[ 3p^2+3p-2p-2 \]

Группируем:

\[ 3p(p+1)-2(p+1)=(3p-2)(p+1) \]

Шаг 2. Разложить знаменатель.

Это разность квадратов:

\[ 4-9p^2=2^2-(3p)^2=(2-3p)(2+3p) \]

Шаг 3. Заметить, что \(2-3p=-(3p-2)\).

Тогда:

\[ \frac{(3p-2)(p+1)}{(2-3p)(2+3p)} = \frac{(3p-2)(p+1)}{-(3p-2)(3p+2)} \]

Шаг 4. Сократить \(3p-2\).

\[ -\frac{p+1}{3p+2} \]

Шаг 5. Указать ограничения.

Знаменатель исходного выражения не должен быть нулём:

\[ 4-9p^2\ne0 \]

\[ p\ne\frac23,\qquad p\ne-\frac23 \]

Причём \(p=\frac23\) исключается ещё и потому, что на этот множитель мы сокращали.

Ответ:

\[ -\frac{p+1}{3p+2},\qquad p\ne\frac23,\quad p\ne-\frac23 \]

Если какой-то конкретный шаг всё ещё непонятен — скажи, какой именно, и разберём его ещё подробнее.