Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(\vec{BC}=\vec b,\quad \vec{DC}=\vec a;\) \[ \vec{AC}=\vec a+\vec b,\qquad \vec{BD}=\vec b-\vec a. \]

2. Построение:

   • \(3\vec a\) — в том же направлении, длина в 3 раза больше;
   • \(-2\vec a\) — в противоположном направлении, длина в 2 раза больше;
   • \(2{,}5\vec a\) — в том же направлении, длина в 2,5 раза больше.

3. Для правильного шестиугольника: \[ \vec{BC}=\vec p+\vec q,\quad \vec{CD}=\vec q,\quad \vec{DE}=-\vec p, \] \[ \vec{EF}=-\vec p-\vec q,\quad \vec{AC}=2\vec p+\vec q,\quad \vec{AD}=2\vec p+2\vec q. \]

4. \[ \vec{AB}=(-3;\,7). \]

5. a) \(3\vec a=(6;\,15)\);
   б) \(-2{,}5\vec a=(-5;\,-12{,}5)\).

6. a) \(\vec{AB}+\vec{BC}=(2;\,-1)\);
   б) \(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}=(-1;\,6)\);
   в) \(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DA}=(0;\,0)\);
   г) \(2\vec{AB}-\vec{BC}=(13;\,4)\).

7. Условие на фото обрезано. Если нужно найти конец \(B\), то
   \[ B=(5;\,-3). \]

Как это получается

1. Параллелограмм

Пусть \(A=(0;0)\). Тогда можно считать: \[ B=\vec a,\qquad D=\vec b. \] В параллелограмме \[ C=B+\vec b=A+\vec a+\vec b. \] Поэтому: \[ \vec{BC}=C-B=\vec b, \] \[ \vec{DC}=C-D=\vec a. \] Диагонали — это суммы векторов: \[ \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec a+\vec b, \] \[ \vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AD}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a. \]

2. Умножение вектора на число

Если вектор умножить на положительное число \(k\), направление сохраняется, а длина увеличивается в \(k\) раз.
Если \(k<0\), направление меняется на противоположное.

Поэтому:

• \(3\vec a\) — три раза \(\vec a\);
• \(-2\vec a\) — два раза вектор, противоположный \(\vec a\);
• \(2{,}5\vec a\) — \(\vec a\), взятый 2,5 раза.

3. Правильный шестиугольник

Удобно взять для примера: \[ \vec p=(1;0),\qquad \vec q=\left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right). \] Тогда, обходя шестиугольник \(ABCDEF\), получаем: \[ \begin{aligned} \vec{BC}&=\vec p+\vec q,\\ \vec{CD}&=\vec q,\\ \vec{DE}&=-\vec p,\\ \vec{EF}&=-\vec p-\vec q. \end{aligned} \] Диагонали: \[ \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC} =\vec p+(\vec p+\vec q)=2\vec p+\vec q, \] \[ \vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD} =\vec p+(\vec p+\vec q)+\vec q =2\vec p+2\vec q. \]

4. Координаты вектора по двум точкам

Правило: \[ \vec{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A). \] Значит: \[ \vec{AB}=(-1-2;\ 4-(-3))=(-3;\ 7). \]

5. Умножение вектора на число в координатах

Если \(\vec a=(x;y)\), то \[ k\vec a=(kx;ky). \] Поэтому: \[ 3\vec a=3(2;5)=(6;15), \] \[ -2{,}5\vec a=(-2{,}5\cdot2;\ -2{,}5\cdot5)=(-5;-12{,}5). \]

6. Считаем векторы и складываем

Даны точки: \[ A(-1;-3),\ B(4;-2),\ C(1;-4),\ D(-2;3). \] Найдём нужные векторы: \[ \vec{AB}=(5;1), \] \[ \vec{BC}=(-3;-2), \] \[ \vec{CD}=(-3;7), \] \[ \vec{DA}=(1;-6). \]

Теперь суммы:

а) \[ \vec{AB}+\vec{BC}=(5;1)+(-3;-2)=(2;-1). \]

б) \[ (5;1)+(-3;-2)+(-3;7)=(-1;6). \]

в) \[ (5;1)+(-3;-2)+(-3;7)+(1;-6)=(0;0). \] Это логично: путь \(A\to B\to C\to D\to A\) замкнулся.

г) \[ 2\vec{AB}-\vec{BC} =2(5;1)-(-3;-2) =(10;2)+(3;2)=(13;4). \]

7. Если нужно найти точку \(B\)

По определению: \[ \vec{AB}=B-A. \] Значит: \[ B=A+\vec{AB}=(1;2)+(4;-5)=(5;-3). \] Проверка: \[ \vec{AB}=(5-1;\ -3-2)=(4;-5), \] всё сходится.