Оеши номер 156
Кратко: \[ \text{а) }1;\qquad \text{б) }a;\qquad \text{в) }x^2+1;\qquad \text{г) }y-5. \]
Принцип: каждую скобку сначала превращаем в одну дробь, затем сокращаем. Деление заменяем умножением на обратную дробь. Не забываем про недопустимые значения переменных.
а)
\[ \left(\frac1y+\frac2{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right) \]
Сначала: \[ \frac1y+\frac2{x-y} =\frac{x-y+2y}{y(x-y)} =\frac{x+y}{y(x-y)} \]
Затем: \[ x-\frac{x^2+y^2}{x+y} =\frac{x(x+y)-x^2-y^2}{x+y} =\frac{xy-y^2}{x+y} =\frac{y(x-y)}{x+y} \]
Произведение: \[ \frac{x+y}{y(x-y)}\cdot\frac{y(x-y)}{x+y}=1 \]
Ответ: \(1\), при \(y\ne0,\ x\ne\pm y\).
б)
\[ \left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right): \left(\frac{a-b}{a+b}+\frac ba\right) \]
Первая скобка: \[ a+b-\frac{2ab}{a+b} =\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b} =\frac{a^2+b^2}{a+b} \]
Вторая скобка: \[ \frac{a-b}{a+b}+\frac ba =\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)} =\frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} =\frac{a^2+b^2}{a(a+b)} \]
Делим: \[ \frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot\frac{a(a+b)}{a^2+b^2}=a \]
Ответ: \(a\), при \(a\ne0,\ a\ne-b\).
в)
\[ (x^2-1)\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}+1\right) \]
Сначала упростим скобку: \[ \frac1{x-1}-\frac1{x+1} =\frac{x+1-(x-1)}{(x-1)(x+1)} =\frac2{x^2-1} \]
Тогда: \[ \frac2{x^2-1}+1 =\frac{2+x^2-1}{x^2-1} =\frac{x^2+1}{x^2-1} \]
Умножаем: \[ (x^2-1)\cdot\frac{x^2+1}{x^2-1}=x^2+1 \]
Ответ: \(x^2+1\), при \(x\ne\pm1\).
г)
\[ (y^2-4)\left(\frac3{y+2}-\frac2{y-2}\right)+5 \]
Сначала скобка: \[ \frac3{y+2}-\frac2{y-2} =\frac{3(y-2)-2(y+2)}{(y+2)(y-2)} =\frac{3y-6-2y-4}{y^2-4} =\frac{y-10}{y^2-4} \]
Тогда: \[ (y^2-4)\cdot\frac{y-10}{y^2-4}+5 =y-10+5 =y-5 \]
Ответ: \(y-5\), при \(y\ne\pm2\).
Проверить результат можно подстановкой удобного допустимого числа, например в пункте г) при \(y=3\) получается \(-2\), и \(3-5=-2\).
Обсуждение
4 сообщенияОбисны понятно
Да, давай по-простому. Во всех четырёх примерах работает один и тот же план.
Главная идея
Если в скобках стоит дробь и целое выражение, например
\[ a+b-\frac{2ab}{a+b}, \]
то целое выражение можно записать как дробь:
\[ a+b=\frac{a+b}{1}. \]
Дальше приводим всё к общему знаменателю — как с обычными дробями:
\[ \frac12+\frac13=\frac{3+2}{6}. \]
Только вместо чисел у нас буквы.
Потом:
- упрощаем числитель;
- раскладываем на множители, если можно;
- сокращаем одинаковые множители;
- если есть деление — переворачиваем вторую дробь и умножаем.
Важно: сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые. Например,
\[ \frac{xy-y^2}{x+y} \]
нельзя сократить «\(y\) и \(y\)» просто так. Зато можно разложить числитель:
\[ xy-y^2=y(x-y), \]
и тогда уже видно, что сокращать.
а) Разберём подробно
\[ \left(\frac1y+\frac2{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right) \]
Сначала первая скобка. Общий знаменатель \(y(x-y)\):
\[ \frac1y+\frac2{x-y} =\frac{x-y}{y(x-y)}+\frac{2y}{y(x-y)} =\frac{x-y+2y}{y(x-y)} =\frac{x+y}{y(x-y)}. \]
Теперь вторая скобка. Запишем \(x\) как дробь:
\[ x=\frac{x(x+y)}{x+y}. \]
Тогда:
\[ x-\frac{x^2+y^2}{x+y} = \frac{x(x+y)-(x^2+y^2)}{x+y}. \]
Раскрываем скобки:
\[ \frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y} = \frac{xy-y^2}{x+y}. \]
Выносим \(y\):
\[ \frac{xy-y^2}{x+y} = \frac{y(x-y)}{x+y}. \]
Теперь умножаем две полученные дроби:
\[ \frac{x+y}{y(x-y)}\cdot\frac{y(x-y)}{x+y}=1. \]
В числителе и знаменателе стоят одинаковые множители, поэтому всё сокращается. Ответ:
\[ \boxed{1}. \]
б) Та же схема
\[ \left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right): \left(\frac{a-b}{a+b}+\frac ba\right) \]
Первая скобка:
\[ a+b=\frac{a+b}{1}, \]
поэтому
\[ a+b-\frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2-2ab}{a+b}. \]
Раскрываем \((a+b)^2\):
\[ \frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b}. \]
Вторая скобка: общий знаменатель \(a(a+b)\):
\[ \frac{a-b}{a+b}+\frac ba = \frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}. \]
Теперь деление. Деление на дробь — это умножение на перевёрнутую дробь:
\[ \frac{a^2+b^2}{a+b}:\frac{a^2+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot\frac{a(a+b)}{a^2+b^2}. \]
Сокращаем \(a^2+b^2\) и \(a+b\):
\[ \boxed{a}. \]
в) Коротко и понятно
\[ (x^2-1)\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}+1\right) \]
В скобке первое действие:
\[ \frac1{x-1}-\frac1{x+1} = \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x^2-1}. \]
Дальше прибавляем \(1\):
\[ \frac{2}{x^2-1}+1 = \frac{2}{x^2-1}+\frac{x^2-1}{x^2-1} = \frac{x^2+1}{x^2-1}. \]
Умножаем на \(x^2-1\):
\[ (x^2-1)\cdot\frac{x^2+1}{x^2-1} = \boxed{x^2+1}. \]
г) Тоже по шагам
\[ (y^2-4)\left(\frac3{y+2}-\frac2{y-2}\right)+5 \]
Сначала скобка. Общий знаменатель \((y+2)(y-2)=y^2-4\):
\[ \frac3{y+2}-\frac2{y-2} = \frac{3(y-2)-2(y+2)}{y^2-4}. \]
Раскрываем:
\[ 3y-6-2y-4=y-10. \]
Значит,
\[ \frac3{y+2}-\frac2{y-2} = \frac{y-10}{y^2-4}. \]
Умножаем на \(y^2-4\):
\[ (y^2-4)\cdot\frac{y-10}{y^2-4}=y-10. \]
И ещё прибавляем \(5\):
\[ y-10+5=\boxed{y-5}. \]
Самое главное запомнить
- Целое выражение — это дробь со знаменателем \(1\).
- Разные знаменатели — приводим к общему.
- В числителе раскрываем скобки и упрощаем.
- При делении дробь переворачиваем.
- Сокращаем только множители.
- Знаменатель не может быть нулём.
Если какой-то один переход всё равно непонятен, скажи номер пункта и строчку — разберём именно её ещё медленнее.
Формула этого задачи отправ
Вот все формулы, которые нужны для этого задания:
Основные формулы
\[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \]
\[ a-\frac{b}{c}=\frac{ac-b}{c} \]
\[ \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} \]
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
Сокращать можно только множители:
\[ \frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac ab \]
Формулы по пунктам
а)
\[ \left(\frac1y+\frac2{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)=1 \]
б)
\[ \left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right): \left(\frac{a-b}{a+b}+\frac ba\right)=a \]
в)
\[ (x^2-1)\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}+1\right)=x^2+1 \]
г)
\[ (y^2-4)\left(\frac3{y+2}-\frac2{y-2}\right)+5=y-5 \]
Ответы:
\[ \boxed{\text{а) }1;\quad \text{б) }a;\quad \text{в) }x^2+1;\quad \text{г) }y-5} \]
Ограничения: \(y\ne0,\ x\ne\pm y\) в пункте а); \(a\ne0,-b\) в пункте б); \(x\ne\pm1\) в пункте в); \(y\ne\pm2\) в пункте г).
