Реши задание на изображении

Кратко

1. а) \(\dfrac{4b^{10}}{3a^8}\)
   б) \(\dfrac{25}{3x^4+1}\)
   в) \(\dfrac{5m-3n}{4}\)

2. а) \(\dfrac{a^2-3}{3a^2}\)
   б) \(\dfrac{2y}{9x^2-y^2}\)
   в) \(\dfrac{1}{a(a-2)}\)

3. \(1{,}5\) (или \(\dfrac32\))

4. \(-\dfrac{3}{a(a+3)}\)

5. Графику принадлежит только точка \(C(2;64)\).
   Точки \(A\), \(B\), \(K\) — не принадлежат.

Во всех дробях подразумевается, что знаменатели не равны нулю.

Как это получается

1. Сокращение дробей.
Сначала раскладываем числитель и знаменатель на множители, затем убираем одинаковые множители. Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые.

а) \[ \frac{64a^8b^{11}}{48a^{16}b} =\frac{64}{48}\cdot\frac{b^{11}}{b}\cdot\frac{a^8}{a^{16}} =\frac{4b^{10}}{3a^8}. \]

б) \[ 3x^8+x^4=x^4(3x^4+1), \] поэтому \[ \frac{25x^4}{3x^8+x^4} =\frac{25x^4}{x^4(3x^4+1)} =\frac{25}{3x^4+1}. \]

в) \[ 25m^2-9n^2=(5m-3n)(5m+3n), \] \[ 12n+20m=4(3n+5m)=4(5m+3n). \] Сокращаем скобку \(5m+3n\): \[ \frac{(5m-3n)(5m+3n)}{4(5m+3n)} =\frac{5m-3n}{4}. \]

2. Приводим к общему знаменателю.

а) \[ \frac{a-3}{3a}+\frac{a-1}{a^2} =\frac{a(a-3)+3(a-1)}{3a^2} =\frac{a^2-3}{3a^2}. \]

б) \[ \frac{1}{3x-y}-\frac{1}{3x+y} =\frac{(3x+y)-(3x-y)}{(3x-y)(3x+y)} =\frac{2y}{9x^2-y^2}. \]

в) Поскольку \(a^2-2a=a(a-2)\), \[ \frac{5}{a-2}-\frac{5a-1}{a^2-2a} =\frac{5a-(5a-1)}{a(a-2)} =\frac{1}{a(a-2)}. \]

3. Сначала упростим выражение: \[ \frac{60a^2-b}{10a}-6a =6a-\frac{b}{10a}-6a =-\frac{b}{10a}. \] При \(a=1{,}2\), \(b=-18\): \[ -\frac{-18}{10\cdot1{,}2} =\frac{18}{12} =1{,}5. \]

4. Разложим знаменатели: \[ 2a-6=2(a-3),\qquad 2a^2-18=2(a-3)(a+3). \] Общий знаменатель: \[ 2a(a-3)(a+3). \] Получаем: \[ \frac{3}{2(a-3)}-\frac{a+15}{2(a-3)(a+3)}-\frac1a \] \[ =\frac{3a(a+3)-a(a+15)-2(a-3)(a+3)}{2a(a-3)(a+3)}. \] В числителе: \[ 3a^2+9a-a^2-15a-2a^2+18=-6a+18=-6(a-3). \] Поэтому \[ \frac{-6(a-3)}{2a(a-3)(a+3)} =-\frac{3}{a(a+3)}. \]

Проверка при \(a=1\): исходное выражение равно \(-\frac34\), и упрощённое тоже \(-\frac{3}{1\cdot4}=-\frac34\).

5. Точка принадлежит графику \(y=\frac{128}{x}\), если её координаты удовлетворяют уравнению.

• \(A(-4;32)\): \(\frac{128}{-4}=-32\neq32\) — нет.
• \(B(8;-160)\): \(\frac{128}{8}=16\neq-160\) — нет.
• \(C(2;64)\): \(\frac{128}{2}=64\) — да.
• \(K(0;-128)\): при \(x=0\) делить нельзя, точка не принадлежит графику.