Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$

Как рассуждать (через теорему Виета)

Приведённое уравнение имеет вид $x^2+px+q=0$. Для него корни удовлетворяют:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q$$

В нашем случае $p=-5$, $q=6$, значит:

$$x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6$$

Теперь ищем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3:

• $2+3=5$ ✔
• $2\cdot 3=6$ ✔

Отсюда $x_1=2$, $x_2=3$.

Тот же результат через разложение на множители

Если корни известны, квадратный трёхчлен раскладывается так:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Уравнение $(x-2)(x-3)=0$ верно, когда хотя бы одна скобка равна нулю: $x=2$ или $x=3$.

Проверка (через дискриминант)

$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$

$$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2}$$

$$x_1=\frac{6}{2}=3,\qquad x_2=\frac{4}{2}=2$$

Совпадает. Подстановкой тоже всё сходится: $4-10+6=0$ и $9-15+6=0$.

Принцип, который стоит запомнить

1. Уравнение приведённое ($a=1$) → Виет: сумма корней $=5$, произведение $=6$. Быстро, но требует «увидеть» числа.
2. Не угадывается → дискриминант: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один, $D<0$ — корней нет.
3. Всегда проверяй подстановкой — это ловит ошибки со знаками, которые чаще всего и возникают (например, при $x^2+5x+6=0$ корни были бы $-2$ и $-3$).