Реши

На этом фото видны уже решённые пункты (задача 2, № 3–4 и задача 3, № 1–3 — их ответы я дал выше) и два новых задания: 3.4 и 4.1.

Задача 3, пункт 4

Да, это тождество.

\[ 4(x-2)+3 = 4x-8+3 = 4x-5 \]

Левая часть тождественным преобразованием приведена к правой: \[ 4x-5 = 4x-5 \] Равенство выполняется при любом значении \(x\), значит, это тождество.

Задача 4, пункт 1

\[ 5x-7=3x+11 \]

Перенесём слагаемые с \(x\) влево, числа — вправо, меняя знак: \[ 5x-3x=11+7 \] \[ 2x=18 \] \[ x=9 \]

Проверка: \(5\cdot9-7=38\) и \(3\cdot9+11=38\) — совпало.

Остальные уравнения задачи 4 не попали в кадр — пришлите их, и я решу.

Задача 4. Линейные уравнения

Решения

1.
\[ 5x-7=3x+11 \] \[ 5x-3x=11+7 \] \[ 2x=18 \] \[ x=9 \]

2.
\[ 3(2x-5)-4=x+16 \] \[ 6x-15-4=x+16 \] \[ 6x-19=x+16 \] \[ 5x=35 \] \[ x=7 \]

3. Умножим обе части на \(6\): \[ 2(x-1)+3(x+2)=30 \] \[ 2x-2+3x+6=30 \] \[ 5x+4=30 \] \[ 5x=26 \] \[ x=\frac{26}{5}=5{,}2 \]

4.
\[ 4(x-2)=4x-8 \] \[ 4x-8=4x-8 \] Получили верное равенство при любом \(x\), поэтому корней бесконечно много.

5.
\[ 2(x+3)=2x+9 \] \[ 2x+6=2x+9 \] \[ 6=9 \] Это неверно, поэтому корней нет.

Задача 5. Построение модели по тексту

Пусть скорость на первом участке равна \(x\) км/ч.
Тогда скорость на втором участке — \((x+4)\) км/ч.

1. Таблица

2. Путь на первом участке

\[ 2x \]

3. Путь на втором участке

\[ 1{,}5(x+4) \]

4. Линейное уравнение

\[ 2x+1{,}5(x+4)=48 \]

5. Найдём скорости

\[ 2x+1{,}5x+6=48 \] \[ 3{,}5x=42 \] \[ x=12 \] Значит, скорость на первом участке — \(12\) км/ч,
а на втором: \[ 12+4=16 \text{ км/ч} \]

Ответ: \(12\) км/ч и \(16\) км/ч.

6. Проверка

\[ 2\cdot12=24 \text{ км} \] \[ 1{,}5\cdot16=24 \text{ км} \] \[ 24+24=48 \text{ км} \] Всё сходится с условием задачи.

Задача 6. Функция и линейная модель

Дано: \[ y=120+25x \] где \(x\) — число километров, \(y\) — стоимость поездки в рублях.

1. Найти \(y\) при \(x=0,\ 4,\ 10\)

\[ y(0)=120+25\cdot0=120 \] \[ y(4)=120+25\cdot4=220 \] \[ y(10)=120+25\cdot10=370 \]

Ответ: \(120\) руб., \(220\) руб., \(370\) руб.

2. Таблица значений и точки графика

Точки графика: \[ (0;\,120),\quad (4;\,220),\quad (10;\,370) \]

3. Коэффициенты \(k\) и \(b\)

Функция имеет вид: \[ y=kx+b \]

В данном случае: \[ y=25x+120 \]

Значит: \[ k=25,\qquad b=120 \]

4. Возрастает или убывает функция?

Так как \(k=25>0\), функция возрастает.
С увеличением числа километров стоимость поездки увеличивается.

5. При каком \(x\) стоимость равна \(320\) рублям?

\[ 120+25x=320 \] \[ 25x=320-120 \] \[ 25x=200 \] \[ x=8 \]

Ответ: при \(x=8\) км, то есть при поездке на \(8\) километров.

6. Является ли зависимость прямой пропорциональностью?

Нет.
Прямая пропорциональность имеет вид: \[ y=kx \] то есть её график проходит через начало координат, а слагаемое \(b\) должно быть равно нулю.

В данной формуле: \[ y=25x+120 \] есть постоянная часть \(120\) — начальная стоимость поездки. Поэтому прямая пропорциональность отсутствует.

Задача 7. Степени и одночлены

1. Упростить

\[ a^5\cdot a^3:a^4 \]

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются:

\[ a^5\cdot a^3:a^4=a^{5+3-4}=a^4 \]

Ответ: \[ \boxed{a^4} \]

Если в задаче 7 есть ещё пункты, пришлите их полностью — решу.

Задача 7. Степени и одночлены

1. Упростить и указать ограничение

\[ a^5\cdot a^3:a^4=a^{5+3-4}=a^4 \]

Так как в исходном выражении есть деление на \(a^4\), то:

\[ a^4\ne0 \quad\Rightarrow\quad a\ne0 \]

Ответ:
\[ \boxed{a^4} \] при ограничении: \[ \boxed{a\ne0} \]

2. Упростить

\[ (2x^3y^2)^2 \]

Возводим в квадрат каждый множитель:

\[ =2^2\cdot (x^3)^2\cdot (y^2)^2 \]

\[ =4x^6y^4 \]

Ответ: \[ \boxed{4x^6y^4} \]

3. Привести одночлен к стандартному виду

\[ -3a^2b\cdot 4ab^3\cdot(-2b) \]

Сначала перемножим числовые коэффициенты:

\[ -3\cdot4\cdot(-2)=24 \]

Теперь отдельно переменные:

\[ a^2\cdot a=a^3 \]

\[ b\cdot b^3\cdot b=b^{1+3+1}=b^5 \]

Значит:

\[ \boxed{24a^3b^5} \]

4. Коэффициент, буквенная часть и степень

Для одночлена:

\[ 24a^3b^5 \]

• коэффициент:
  \[ \boxed{24} \]

• буквенная часть:
  \[ \boxed{a^3b^5} \]

• степень одночлена — сумма показателей переменных:
  \[ 3+5=8 \]

Ответ:
\[ \boxed{\text{коэффициент }24;\quad \text{буквенная часть }a^3b^5;\quad \text{степень }8} \]

5. Почему \(\dfrac1x\) не является одночленом

По школьному определению одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней.

Выражение:

\[ \frac1x=x^{-1} \]

содержит переменную в знаменателе, то есть имеет отрицательную степень \(-1\). Такая степень не является натуральной, поэтому \(\dfrac1x\) не считается одночленом.

Ответ:
\[ \boxed{\frac1x \text{ не является одночленом, так как } \frac1x=x^{-1}, \text{ а показатель }-1 \text{ не натуральный.}} \]

Итоговые ответы

\[ \boxed{1)\ a^4,\quad a\ne0} \]

\[ \boxed{2)\ 4x^6y^4} \]

\[ \boxed{3)\ 24a^3b^5} \]

\[ \boxed{4)\ 24;\quad a^3b^5;\quad 8} \]

\[ \boxed{5)\ \frac1x=x^{-1}\text{ — переменная в знаменателе, поэтому это не одночлен.}} \]

Задача 8. Многочлены

Дано: \[ P=5x^3+2x^2-7x+4,\qquad Q=2x^3-3x^2+x-5. \]

1. \(P+Q\)

\[ P+Q=(5x^3+2x^2-7x+4)+(2x^3-3x^2+x-5) \] \[ =(5+2)x^3+(2-3)x^2+(-7+1)x+(4-5) \] \[ \boxed{7x^3-x^2-6x-1} \]

2. \(P-Q\)

\[ P-Q=(5x^3+2x^2-7x+4)-(2x^3-3x^2+x-5) \] \[ =5x^3+2x^2-7x+4-2x^3+3x^2-x+5 \] \[ =\boxed{3x^3+5x^2-8x+9} \]

3. \(2P-Q\)

Сначала умножим \(P\) на \(2\): \[ 2P=10x^3+4x^2-14x+8 \] Теперь вычтем \(Q\): \[ 2P-Q=(10x^3+4x^2-14x+8)-(2x^3-3x^2+x-5) \] \[ =10x^3+4x^2-14x+8-2x^3+3x^2-x+5 \] \[ =\boxed{8x^3+7x^2-15x+13} \]

4. Для \(P-Q\): степень, старший коэффициент, свободный член

\[ P-Q=3x^3+5x^2-8x+9 \]

• степень: \(\boxed{3}\);
• старший коэффициент: \(\boxed{3}\);
• свободный член: \(\boxed{9}\).

5. Раскрыть скобки

\[ 3x(2x^2-x+4)=3x\cdot2x^2+3x\cdot(-x)+3x\cdot4 \] \[ =\boxed{6x^3-3x^2+12x} \]

6. Вынести наибольший общий множитель

\[ 12x^3-18x^2=6x^2(2x-3) \]

Ответ: \(\boxed{6x^2(2x-3)}\).

Задача 9. Формулы и разложение на множители

1. Раскрыть скобки

\[ (2x-3)(x+5)=2x\cdot x+2x\cdot5-3\cdot x-3\cdot5 \] \[ =2x^2+10x-3x-15 \] \[ =\boxed{2x^2+7x-15} \]

2. Используя формулу сокращённого умножения

\[ (3a-2b)^2=(3a)^2-2\cdot3a\cdot2b+(2b)^2 \] \[ =\boxed{9a^2-12ab+4b^2} \]

Если в задаче 9 есть ещё пункты, которых не видно на фото, пришлите их — решу.

Задача 9. Формулы и разложение на множители

1. \[ (2x-3)(x+5)=2x^2+10x-3x-15=\boxed{2x^2+7x-15} \]

2. \[ (3a-2b)^2=(3a)^2-2\cdot3a\cdot2b+(2b)^2= \boxed{9a^2-12ab+4b^2} \]

3. \[ x^2-49=(x-7)(x+7) \] Ответ: \(\boxed{(x-7)(x+7)}\).

4. \[ x^2+10x+25=(x+5)^2 \] Ответ: \(\boxed{(x+5)^2}\).

5. Сначала вынесем общий множитель \(3x\): \[ 3x^3-27x=3x(x^2-9)=3x(x-3)(x+3) \] Ответ: \(\boxed{3x(x-3)(x+3)}\).

6. Группировка: \[ x^3+2x^2+3x+6=x^2(x+2)+3(x+2) \] \[ =(x+2)(x^2+3) \] Ответ: \(\boxed{(x+2)(x^2+3)}\).

Дополнительный вопрос: сначала полезно вынести общий множитель в пункте 5, а затем применить формулу разности квадратов.

Задача 10. Уравнение с двумя переменными

Дано: \[ 2x+y=7 \]

1. Две пары решений

Если \(x=0\), то \(y=7\): \[ (0;7) \]

Если \(x=1\), то \(y=5\): \[ (1;5) \]

Ответ: \(\boxed{(0;7),\ (1;5)}\).

2. Выразить \(y\) через \(x\)

\[ y=7-2x \]

График этого уравнения — прямая линия.
Это линейная функция с угловым коэффициентом \(-2\).

3. Решить систему способом подстановки

Судя по условию, система: \[ \begin{cases} 2x+y=7,\\ y=x+1. \end{cases} \]

Подставим \(y=x+1\) в первое уравнение: \[ 2x+(x+1)=7 \] \[ 3x+1=7 \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \]

Теперь найдём \(y\): \[ y=x+1=2+1=3 \]

Ответ: \[ \boxed{(2;3)} \]

Проверка: \[ 2\cdot2+3=7,\qquad 3=2+1 \] Всё сходится.

Задача 10

Дано уравнение: \[ 2x+y=7 \]

1. Две различные пары решений

Возьмём \(x=0\): \[ y=7-0=7 \quad\Rightarrow\quad (0;7) \]

Возьмём \(x=1\): \[ y=7-2=5 \quad\Rightarrow\quad (1;5) \]

Ответ: \(\boxed{(0;7)}\) и \(\boxed{(1;5)}\).

2. Выразить \(y\) через \(x\)

\[ 2x+y=7 \] \[ \boxed{y=7-2x} \] или \[ \boxed{y=-2x+7} \]

Это уравнение задаёт прямую линию. Угловой коэффициент равен \(-2\), а точка пересечения с осью \(y\) — \((0;7)\).

3. Решить систему способом подстановки

\[ \begin{cases} y=x+1,\\ 2x+y=7. \end{cases} \]

Подставим \(y=x+1\) во второе уравнение: \[ 2x+(x+1)=7 \] \[ 3x+1=7 \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \]

Тогда: \[ y=x+1=2+1=3 \]

Ответ: \[ \boxed{(2;3)} \]

Проверка: \[ 2\cdot2+3=7,\qquad 3=2+1 \] Всё верно.

4. Решить систему способом сложения

\[ \begin{cases} 2x+3y=13,\\ 2x-y=5. \end{cases} \]

Вычтем из первого уравнения второе: \[ (2x+3y)-(2x-y)=13-5 \] \[ 4y=8 \] \[ y=2 \]

Подставим \(y=2\) во второе уравнение: \[ 2x-2=5 \] \[ 2x=7 \] \[ x=3{,}5 \]

Ответ: \[ \boxed{(3{,}5;2)} \]

Проверка: \[ 2\cdot3{,}5+3\cdot2=7+6=13 \] \[ 2\cdot3{,}5-2=7-2=5 \]

5. Сколько решений имеет система

\[ \begin{cases} y=3x-2,\\ y=3x+4. \end{cases} \]

У обеих прямых одинаковый угловой коэффициент \(3\), но разные свободные члены: \(-2\) и \(4\).
Значит, это параллельные прямые, и они не пересекаются.

Следовательно, система: \[ \boxed{\text{не имеет решений}} \]

Итоговые ответы

\[ \boxed{1)\ (0;7),\ (1;5)} \]

\[ \boxed{2)\ y=7-2x;\ \text{график — прямая}} \]

\[ \boxed{3)\ (2;3)} \]

\[ \boxed{4)\ (3{,}5;2)} \]

\[ \boxed{5)\ \text{решений нет, прямые параллельны}} \]