Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$x_1 = 2$, $x_2 = 3$ (оба корня подходят).
Как это получить — и почему так можно
1. Вспомним, что значит $x^2$
$x^2 = x \cdot x$ — это просто число, умноженное само на себя. Значит, наше уравнение можно записать так:
$$x \cdot x - 5x + 6 = 0$$
2. Главная идея: ищем «два числа»
Свободный член равен $6$, а коэффициент при $x$ равен $-5$. Нужны два числа, у которых:
- произведение равно $6$;
- сумма равна $5$.
Подбираем пары, дающие в произведении $6$: $1$ и $6$, $2$ и $3$. Проверяем сумму: $1 + 6 = 7$ — не подходит; $2 + 3 = 5$ — подходит!
3. Записываем уравнение в виде произведения
$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$$
Можно убедиться, что скобки раскрываются обратно: $x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$. Всё верно.
4. Используем правило нуля
Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Отсюда два случая:
- $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
- $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
5. Проверка (обязательный шаг)
- $x = 2$: $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ ✓
- $x = 3$: $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ ✓
Что запомнить, чтобы решить похожее
Схема для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$:
- найди два числа с произведением $q$ и суммой $-p$;
- запиши $(x - a)(x - b) = 0$, где $a$ и $b$ — эти числа (знаки меняются!);
- приравняй каждую скобку к нулю;
- проверь подстановкой.
Пример-тренировка: $x^2 - 7x + 12 = 0$. Ищем произведение $12$, сумму $7$: это $3$ и $4$. Тогда $(x-3)(x-4)=0$, то есть $x = 3$ или $x = 4$. Проверь сам.
Небольшое примечание: такие уравнения обычно проходят позже, в 6–8 классах, — если тема новая, ничего страшного, принцип подбора здесь самый понятный.
