Реши задание на изображении

Краткие ответы:

1. 100 м;
2. сила увеличится в 2 раза;
3. сила уменьшится в 4 раза.

Закон всемирного тяготения: \[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2},\qquad G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}, \] где \(r\) — расстояние между центрами тел.

1. Расстояние между телами

Дано: \(m_1=m_2=1\ \text{т}=1000\ \text{кг}=10^3\ \text{кг}\),
\(F=6{,}67\cdot10^{-9}\ \text{Н}\).

\[ r=\sqrt{\frac{Gm_1m_2}{F}} \]

\[ r=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot10^3\cdot10^3}{6{,}67\cdot10^{-9}}} =\sqrt{10^4}=100\ \text{м}. \]

Ответ: 100 м.

2. Как изменится сила

Было: \[ F_1=G\frac{m_1m_2}{r^2}. \]

Стало: \[ F_2=G\frac{(6m_1)\left(\frac{m_2}{3}\right)}{r^2} =2G\frac{m_1m_2}{r^2}=2F_1. \]

Ответ: сила увеличится в 2 раза.

3. Соприкасающиеся шары

Пусть диаметр шара равен \(d\). При соприкосновении расстояние между центрами: \[ r_1=d. \]

Один шар отодвинули на расстояние \(d\), значит расстояние между центрами стало: \[ r_2=r_1+d=2d. \]

Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния: \[ \frac{F_1}{F_2}=\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 =\left(\frac{2d}{d}\right)^2=4. \]

Значит, \(F_2=\frac{F_1}{4}\).

Ответ: сила уменьшится в 4 раза.

Общий принцип: если массу увеличить в \(k\) раз, сила увеличится в \(k\) раз; если расстояние увеличить в \(k\) раз, сила уменьшится в \(k^2\) раз.