(x²-49y²):(49y²+14xy+x²)=

Если «:» означает деление, то развёрнуто решение выглядит так.

\[ \frac{x^2-49y^2}{49y^2+14xy+x^2} \]

1. Найдём ограничение

Знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ 49y^2+14xy+x^2\ne 0. \]

Но

\[ 49y^2+14xy+x^2=(7y)^2+2\cdot 7y\cdot x+x^2=(x+7y)^2. \]

Квадрат равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю:

\[ (x+7y)^2=0 \quad\Leftrightarrow\quad x+7y=0. \]

Значит,

\[ x+7y\ne 0, \qquad x\ne -7y. \]

Это важно, потому что именно на \(x+7y\) мы будем сокращать.

---

2. Разложим числитель

Используем формулу разности квадратов:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

У нас

\[ x^2-49y^2=x^2-(7y)^2. \]

Поэтому

\[ x^2-49y^2=(x-7y)(x+7y). \]

---

3. Свернём знаменатель

Используем формулу квадрата суммы:

\[ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2. \]

Получаем:

\[ 49y^2+14xy+x^2=(7y)^2+2\cdot 7y\cdot x+x^2=(7y+x)^2=(x+7y)^2. \]

Так как \(x+7y=7y+x\), порядок слагаемых не важен.

---

4. Подставим в дробь

\[ \frac{x^2-49y^2}{49y^2+14xy+x^2} = \frac{(x-7y)(x+7y)}{(x+7y)^2}. \]

---

5. Сократим

Один множитель \(x+7y\) в числителе и один в знаменателе сокращаются:

\[ \frac{(x-7y)\cancel{(x+7y)}}{(x+7y)^{\cancel{2}}} = \frac{x-7y}{x+7y}. \]

Сокращение законно только при

\[ x+7y\ne 0. \]

---

Ответ

\[ \boxed{\frac{x^2-49y^2}{49y^2+14xy+x^2} = \frac{x-7y}{x+7y}} \]

при условии

\[ \boxed{x+7y\ne 0} \]

то есть

\[ \boxed{x\ne -7y}. \]

---

Проверка

Умножим полученный ответ обратно на знаменатель:

\[ \frac{x-7y}{x+7y}\cdot (x+7y)^2 =(x-7y)(x+7y) =x^2-49y^2. \]

Получили исходный числитель, значит преобразование выполнено верно.

Частные случаи

• Если \(x=7y\), но \(x\ne -7y\), то числитель равен нулю, поэтому вся дробь равна \(0\).
• Если \(y=0\), то при \(x\ne 0\): \[ \frac{x^2-0}{0+0+x^2}=1, \] и формула даёт: \[ \frac{x-0}{x+0}=1. \]
• При \(x=-7y\) исходное выражение не имеет смысла, потому что знаменатель равен нулю. В этой точке ответ \(\frac{x-7y}{x+7y}\) уже не является продолжением исходного выражения.