Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$$x_1 = 2, \quad x_2 = 3$$
Как решать: способ 1 — разложение на множители
Ищем два числа, которые при умножении дают $+6$, а при сложении дают $+5$ (в коэффициенте перед $x$ стоит $5$, а в формуле Виета $x_1+x_2=5$, $x_1\cdot x_2=6$).
Подходят $2$ и $3$: $2\cdot 3 = 6$, $2+3=5$.
Значит, $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: $ x-2=0 \Rightarrow x=2 $ $ x-3=0 \Rightarrow x=3 $
Способ 2 — через дискриминант (универсальный)
$$a=1,; b=-5,; c=6$$ $$D=b^2-4ac=25-24=1 > 0$$ $$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}$$ $$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$
Проверка
- $x=2$: $4-10+6=0$ ✔
- $x=3$: $9-15+6=0$ ✔
Сумма корней $5$, произведение $6$ — совпадает с коэффициентами, всё верно.
Принцип для похожих заданий: сначала пробуй подобрать два числа по теореме Виета (быстро и без вычислений); если не подбираются — неполный квадрат/дискриминант $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ всегда даёт корни.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Похоже, речь про шаг, где вместо $x^2-5x+6$ появляется запись $(x-2)(x-3)$ — откуда там $x$. Разберу его подробно.
1. Что такое $x$
$x$ — это неизвестное число, которое мы подбираем. Уравнение $x^2-5x+6=0$ читается так: «какое число, если подставить его вместо $x$, даст в результате 0?» Само выражение $x^2-5x+6$ — это «машина»: кидаем в неё число, получаем результат.
2. Почему в скобках тоже стоит $x$
Запись $(x-2)(x-3)$ — это не другое выражение, а та же самая «машина», только записанная иначе. Проверим раскрытием скобок (каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое из второй):
$$(x-2)(x-3)=x\cdot x-x\cdot 3-2\cdot x+2\cdot 3=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$$
Получили ровно исходное выражение. Значит, $x$ ниоткуда не «взялся» — он всё время был в уравнении. Мы просто переписали ту же сумму в виде произведения, как $12$ можно записать как $3\cdot 4$.
3. Откуда именно числа 2 и 3
Раскроем скобки в общем виде:
$$(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$$
Сравниваем с нашим $x^2-5x+6$:
- коэффициент перед $x$: $-(a+b)=-5 \Rightarrow a+b=5$;
- свободный член: $ab=6$.
Два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3. Поэтому $a=2$, $b=3$.
4. Почему из произведения получаются корни
Главное правило: произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю (например, $7\cdot 0=0$, но $7\cdot 4\neq 0$).
У нас $(x-2)(x-3)=0$. Значит, либо
$$x-2=0 \Rightarrow x=2,$$
либо
$$x-3=0 \Rightarrow x=3.$$
Последний переход — просто прибавили 2 (или 3) к обеим частям равенства.
5. Проверка
- $x=2$: $(2-2)(2-3)=0\cdot(-1)=0$ ✔
- $x=3$: $(3-2)(3-3)=1\cdot 0=0$ ✔
Смысл всей идеи: мы искали число, при котором «машина» выдаёт 0, и нашли два таких числа — 2 и 3.
Если ты имел в виду другой шаг (например, формулу $x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ во втором способе) — скажи, разберу его так же подробно.
