Формула сокращения дробей

Коротко: дробь сокращают делением числителя и знаменателя на общий множитель.

Основная формула: \[ \frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{a}{b}, \qquad c\ne0,\ b\ne0. \] То есть общий множитель \(c\) в числителе и знаменателе «убирается».

Для числовой дроби удобно делить на НОД: \[ \frac{a}{b}= \frac{a:\operatorname{НОД}(a,b)}{b:\operatorname{НОД}(a,b)}. \]

Пример: \[ \frac{42}{56}. \] НОД\((42,56)=14\), значит: \[ \frac{42}{56}=\frac{42:14}{56:14}=\frac34. \]

Как действовать с буквенными дробями:

1. Разложить числитель и знаменатель на множители.
2. Вычеркнуть общие множители.
3. Записать оставшееся и указать ограничения: знаменатель не равен нулю.

Например: \[ \frac{8x^2y}{12xy^2} = \frac{4xy\cdot 2x}{4xy\cdot 3y} = \frac{2x}{3y}, \] при \(x\ne0,\ y\ne0\).

Важно: сокращать можно только множители, а не слагаемые. Например, \[ \frac{x+2}{x} \] сократить до \(2\) нельзя: \(x\) здесь не общий множитель всей суммы.

Проверка: обратное умножение должно дать исходную дробь: \[ \frac{2x}{3y}\cdot 4xy=\frac{8x^2y}{12xy^2}. \]