Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).
Как решить:
Уравнение имеет вид
\[
x^2-5x+6=0.
\]
Ищем два числа, которые:
- в произведении дают \(6\);
- в сумме дают \(5\).
Это числа \(2\) и \(3\), потому что
\[
2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5.
\]
Значит, левую часть можно разложить на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \]
Отсюда: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка:
При \(x=2\): \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0. \]
При \(x=3\): \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят.
Принцип: для уравнения \(x^2+bx+c=0\) часто достаточно найти два числа, которые в сумме дают \(-b\), а в произведении дают \(c\). Тогда корни уравнения — это эти числа.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
На втором этапе \(x\) никуда не заменяем — он остаётся переменной. Мы только переписываем выражение \(x^2-5x+6\) в виде произведения.
Почему появляются скобки \((x-2)\) и \((x-3)\)? Проверим умножением:
\[ (x-2)(x-3) =x(x-3)-2(x-3) =x^2-3x-2x+6 =x^2-5x+6. \]
То есть эти скобки дают ровно исходное выражение.
Можно получить это и постепенно:
\[ x^2-5x+6 =x^2-2x-3x+6 \]
Группируем:
\[ (x^2-2x)-(3x-6) =x(x-2)-3(x-2). \]
Теперь общий множитель — скобка \((x-2)\):
\[ x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3). \]
Вот откуда берётся \(x\): он был в исходном уравнении и остаётся в множителях.
Дальше:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы одна скобка равна нулю:
- \(x-2=0\), значит \(x=2\);
- \(x-3=0\), значит \(x=3\).
То есть числа \(2\) и \(3\) — это не сами множители, а значения \(x\), при которых скобки обращаются в ноль.
