Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Хороший вопрос — здесь действительно легко запутаться. \(x\) не появился заново: он уже был в исходном выражении \(x^2-5x+6\). На втором этапе мы не ищем \(x\), а просто записываем то же самое выражение в виде произведения.

Проверим умножением:

\[ (x-2)(x-3) \]

Раскрываем скобки:

\[ (x-2)(x-3)=x(x-3)-2(x-3) \]

\[ =x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]

То есть:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Это равенство верно при любом \(x\). Мы просто заменили одно и то же выражение другой записью. Например, при \(x=4\):

\[ 4^2-5\cdot4+6=16-20+6=2 \]

и

\[ (4-2)(4-3)=2\cdot1=2. \]

Получается одно и то же.

Почему удобна запись \((x-2)(x-3)\)? Потому что уравнение стало таким:

\[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \]

Отсюда:

\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]

Множители \(2\) и \(3\) берутся из условия: нам нужны два числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении дают \(6\). Это \(2\) и \(3\).

В общем виде:

\[ (x-p)(x-q)=x^2-(p+q)x+pq. \]

Сравнивая с \(x^2-5x+6\), получаем:

\[ p+q=5,\qquad pq=6. \]

Подходят \(p=2\), \(q=3\). Поэтому:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Ответ остаётся: \(\boxed{x=2;\; x=3}\).

Можно — и даже очень просто. Наверное, ты имеешь в виду дискриминант. Через дискриминант это уравнение решается даже быстрее, чем подбором.

Уравнение:

\[ x^2-5x+6=0 \]

Это уравнение вида:

\[ ax^2+bx+c=0 \]

где

\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6. \]

Формула дискриминанта:

\[ D=b^2-4ac \]

Подставляем:

\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем:

\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2} \]

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2 \]

\[ x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Ответ тот же:

\[ \boxed{x=2;\quad x=3} \]

То есть через дискриминант решать можно. Просто в этом уравнении числа удачные: \(2\) и \(3\) легко подобрать, поэтому разложение на множители выглядит короче. А дискриминант — универсальный способ, который работает всегда.