120,121,122,123чыгарып бер
Кыска жооп
120.
а) \(t=-\dfrac{\pi}{4}\); б) \(t=\dfrac{\pi}{6}\); в) \(t=\dfrac{\pi}{3}\); г) \(t=\dfrac{3\pi}{4}\).
121.
а) \(0\); б) \(-\dfrac{\pi}{3}\); в) \(\dfrac{\pi}{2}\); г) \(-\dfrac{\pi}{4}\).
122.
а) \(\dfrac{2\pi}{3}\); б) \(\dfrac{\pi}{4}\); в) \(\dfrac{5\pi}{6}\); г) \(0\).
123.
а) \(\dfrac{\pi}{6}\); б) \(-\dfrac{\pi}{4}\); в) \(0\); г) \(\dfrac{\pi}{3}\).
120-чыгаруу. Теңдемелерди аралык боюнча тандоо
Эреже:
- \(\operatorname{tg}t=a\) болсо, жалпы чыгарылышы
\[ t=\operatorname{arctg}a+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \] - \(\operatorname{ctg}t=a\) болсо, адегенде \(\operatorname{tg}t=\dfrac1a\) деп жазып алуу ыңгайлуу.
Берилген аралыктын узундугу \(\pi\) болгондуктан, анда \(\operatorname{tg}\) же \(\operatorname{ctg}\) теңдемесинин бир гана чыгарылышы болот.
а)
\[
\operatorname{tg}t=-1.
\]
\[
\operatorname{arctg}(-1)=-\frac{\pi}{4}.
\]
Бул сан \(\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\) аралыгына кирет. Демек:
\[
t=-\frac{\pi}{4}.
\]
б)
\[
\operatorname{ctg}t=\sqrt3.
\]
\[
\operatorname{tg}t=\frac{1}{\sqrt3}.
\]
\[
t=\frac{\pi}{6}+\pi k.
\]
\((0;\pi)\) аралыгында \(k=0\) болгондо гана жатат:
\[
t=\frac{\pi}{6}.
\]
в)
\[
\operatorname{tg}t=\sqrt3.
\]
\[
t=\frac{\pi}{3}.
\]
г)
\[
\operatorname{ctg}t=-1.
\]
\[
\operatorname{tg}t=-1,\qquad t=-\frac{\pi}{4}+\pi k.
\]
\((0;\pi)\) аралыгына \(k=1\) болгондо тиешелүү:
\[
t=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}.
\]
121–123. Негизги түшүнүктөр
- \(\arcsin a\) — синусу \(a\) га барабар болгон \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\) аралыгындагы бурч.
- \(\arccos a\) — косинусу \(a\) га барабар болгон \([0;\pi]\) аралыгындагы бурч.
- \(\operatorname{arctg}a\) — тангенси \(a\) га барабар болгон \(\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\) аралыгындагы бурч.
Пайдалуу касиеттер: \[ \arcsin(-a)=-\arcsin a, \] \[ \operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg}a, \] \[ \arccos(-a)=\pi-\arccos a. \]
Негизги бурчтардын маанилери:
| \(t\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin t\) | \(0\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos t\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | \(0\) |
| \(\operatorname{tg}t\) | \(0\) | \(\frac1{\sqrt3}\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | — |
121
а) \(\arcsin 0=0\), себеби \(\sin0=0\).
б)
\[
\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)
=-\arcsin\frac{\sqrt3}{2}
=-\frac{\pi}{3}.
\]
в) \(\arcsin1=\dfrac{\pi}{2}\).
г)
\[
\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4}.
\]
122
а)
\[
\arccos\left(-\frac12\right)
=\pi-\arccos\frac12
=\pi-\frac{\pi}{3}
=\frac{2\pi}{3}.
\]
б)
\[
\arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},
\]
себеби \(\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\).
в)
\[
\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)
=\pi-\arccos\frac{\sqrt3}{2}
=\pi-\frac{\pi}{6}
=\frac{5\pi}{6}.
\]
г)
\[
\arccos1=0,
\]
себеби \(\cos0=1\).
123
а)
\[
\operatorname{arctg}\frac1{\sqrt3}=\frac{\pi}{6},
\]
себеби \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6}=\dfrac1{\sqrt3}\).
б)
\[
\operatorname{arctg}(-1)=-\frac{\pi}{4}.
\]
в)
\[
\operatorname{arctg}0=0.
\]
г)
\[
\operatorname{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3}.
\]
Ретинде текшерсе болот: алынган ар бир бурч тиешелүү аралыкта жатат жана анын синусу, косинусу же тангенси берилген санга барабар.
Обсуждение
2 сообщения120,121,122 нун x,y огунан чийин сурот кылып коргозуп бечи
Түшүнүктүү. \(120\), \(121\), \(122\) боюнча жоопторду \(x,y\) координаталык тегиздигинде көрсөтөбүз.
Эреже:
\(t\) бурчуна туура келген чекит:
\[
(x;y)=(\cos t;\ \sin t).
\]
Ал чекитти борбордон (\(O\)) шоола менен туташтырсак, ошол \(t\) бурч келип чыгат. Оң бурч — саат жебесине каршы, терс бурч — саат жебеси боюнча саналат.
120
| № | \(t\) | Градус | Координаталык чекит \((x;y)\) |
|---|---|---|---|
| 120а | \(-\dfrac{\pi}{4}\) | \(-45^\circ\) | \(\left(\dfrac{\sqrt2}{2};-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\) |
| 120б | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(30^\circ\) | \(\left(\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac12\right)\) |
| 120в | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(60^\circ\) | \(\left(\dfrac12;\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\) |
| 120г | \(\dfrac{3\pi}{4}\) | \(135^\circ\) | \(\left(-\dfrac{\sqrt2}{2};\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\) |
Шарттуу чийме:
y
↑
│ в(60°)
г(135°)│ б(30°)
──────────●────────────→ x
│
│ а(-45°)
121
| № | \(t\) | Градус | Координаталык чекит \((x;y)\) |
|---|---|---|---|
| 121а | \(0\) | \(0^\circ\) | \((1;0)\) |
| 121б | \(-\dfrac{\pi}{3}\) | \(-60^\circ\) | \(\left(\dfrac12;-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\) |
| 121в | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(90^\circ\) | \((0;1)\) |
| 121г | \(-\dfrac{\pi}{4}\) | \(-45^\circ\) | \(\left(\dfrac{\sqrt2}{2};-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\) |
Шарттуу чийме:
y
↑
│ в(90°)
│
──────────●────────────→ x а(0°)
│ г(-45°)
│ б(-60°)
122
| № | \(t\) | Градус | Координаталык чекит \((x;y)\) |
|---|---|---|---|
| 122а | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(120^\circ\) | \(\left(-\dfrac12;\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\) |
| 122б | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(45^\circ\) | \(\left(\dfrac{\sqrt2}{2};\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\) |
| 122в | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(150^\circ\) | \(\left(-\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac12\right)\) |
| 122г | \(0\) | \(0^\circ\) | \((1;0)\) |
Шарттуу чийме:
y
↑
а(120°)│ б(45°)
в(150°) │
───────────●────────────→ x г(0°)
Кантип чийсе болот
- \(x\) жана \(y\) огун чий.
- Бирдик тегерек сыз.
- Таблицадагы ар бир \((x;y)\) чекитти белгиле.
- Борбордон ошол чекитке шоола жүргүз.
- Шоола менен \(x\) огунун ортосундагы бурч — ошол \(t\).
Мисалы, \(120б\): \(\left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right)\) чекити \(x\) огуна жакын, ошондуктан \(30^\circ\) бурч болуп көрүнөт. Ал эми \(120в\): \(\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)\) чекити \(y\) огуна жакын, ошондуктан \(60^\circ\) болот.
