Деление дробей

Краткий ответ

Деление дробей заменяют умножением на обратную дробь:

\[\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c},\qquad b\neq 0,\ c\neq 0,\ d\neq 0.\]

То есть переворачиваем только делитель (вторую дробь), а деление меняем на умножение.

Ключевые шаги

1. Перевернуть делитель: \(\dfrac{c}{d}\to\dfrac{d}{c}\).
2. Заменить знак \(:\) на \(\cdot\).
3. Разложить числители и знаменатели на множители.
4. Сократить и записать ответ.
5. Выписать ограничения: все знаменатели (включая перевёрнутый числитель) не равны нулю.

Пример 1 (числа)

\[\frac{3}{4}:\frac{9}{8}=\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}=\frac{3\cdot 8}{4\cdot 9}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}.\]

Проверка: \(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{9}{8}=\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}\) — получили делимое, значит верно.

Пример 2 (алгебраические дроби, 8 класс)

\[\frac{x^2-9}{x+2}:\frac{x-3}{x^2-4}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+2}\cdot\frac{(x-2)(x+2)}{x-3}=(x+3)(x-2).\]

Ограничения: \(x\neq -2\) (знаменатель первой дроби), \(x\neq 3\) (числитель делителя), \(x\neq \pm 2\) (знаменатель делителя). Итого \(x\neq -2,\ 2,\ 3\).

Проверка при \(x=1\): слева \(\dfrac{-8}{3}:\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{-8}{3}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{-8}{3}\cdot\dfrac{3}{2}=-4\); справа \((1+3)(1-2)=-4\). Совпало.

Частые ошибки

• Переворачивают делимое вместо делителя.
• Сокращают «крест-накрест» до замены деления на умножение.
• Забывают перевести смешанные числа в неправильные дроби.
• Теряют ограничения (ОДЗ) — при делении на дробь её числитель тоже не должен быть нулём.

Если нужно разделить на многочлен, представляй его как дробь со знаменателем 1: \(\dfrac{a}{b}:m=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{1}{m}\).