Реши задание на изображении

Кратко: деление дробей заменяем умножением на обратную дробь, затем раскладываем числители и знаменатели на множители и сокращаем.

Ответы а) \(\dfrac{m-3}{3x}\)

б) \(\dfrac{5(a-b)}{6ab^2}\)

в) \(\dfrac{ax^2}{44}\)

г) \(\dfrac{9}{4m}\)

д) \(\dfrac{a}{21b}\)

е) \(\dfrac{x(x+2y)}{5}\)

ж) \(\dfrac{3(2a-b)}{a(2a+b)}\)

з) \(\dfrac{10m}{2m-3n}\)

Запрещённые значения переменных

а) \(x\ne0,\ m\ne0\)
б) \(a\ne0,\ b\ne0,\ a\ne b\)
в) \(a\ne0,\ x\ne-1\)
г) \(a\ne0,\ x\ne0,\ m\ne0,\ m\ne2\)
д) \(b\ne0,\ a\ne3b\)
е) \(x\ne0,\ x\ne2y\)
ж) \(a\ne0,\ b\ne2a,\ b\ne-2a\)
з) \(m\ne0,\ 2m\ne3n\)

В школе эти ограничения часто не выписывают, но они следуют из того, что на нуль делить нельзя.

Как рассуждать

Используем правило:

\[ \frac AB:\frac CD=\frac AB\cdot\frac DC. \]

Например, пункт а):

\[ \frac{m^2-3m}{8x^2}:\frac{3m}{8x} = \frac{m(m-3)}{8x^2}\cdot\frac{8x}{3m} = \frac{m-3}{3x}. \]

Здесь вынесли \(m\) за скобки, перевернули вторую дробь и сократили \(8,\ x,\ m\).

Ключевые преобразования в остальных пунктах

б) \[ \frac{5a^2}{6b^3}\cdot\frac{b(a-b)}{a^3} = \frac{5(a-b)}{6ab^2}. \]

в) \[ \frac{x^2(1+x)}{11a^2}\cdot\frac{a^3}{4(1+x)} = \frac{ax^2}{44}. \]

г) \[ \frac{6ax}{m(m-2)}\cdot\frac{3(m-2)}{8ax} = \frac{9}{4m}. \]

д) \[ \frac{a(a-3b)}{3b}\cdot\frac1{7(a-3b)} = \frac{a}{21b}. \]

е) \[ (x-2y)(x+2y)\cdot\frac{x}{5(x-2y)} = \frac{x(x+2y)}5. \]

ж) \[ (2a-b)^2\cdot\frac3{a(2a-b)(2a+b)} = \frac{3(2a-b)}{a(2a+b)}. \]

Здесь использовано: \[ 4a^3-ab^2=a(4a^2-b^2)=a(2a-b)(2a+b). \]

з) \[ 5(2m-3n)\cdot\frac{2m}{(2m-3n)^2} = \frac{10m}{2m-3n}. \]

Проверка

Для пункта а) возьмём \(m=4,\ x=2\):

\[ \frac{4}{32}:\frac{12}{16} = \frac18\cdot\frac43 = \frac16, \]

а по формуле:

\[ \frac{m-3}{3x}=\frac{4-3}{3\cdot2}=\frac16. \]

Всё сходится.