Машки 99 в
Беру пункт 99 в):
\[ 2x^2-7x-15\ge 0 \]
Краткий ответ:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac32\right]\cup[5;+\infty)} \]
Как решать:
Найдём корни уравнения
\[ 2x^2-7x-15=0 \]Вычислим дискриминант:
\[ D=(-7)^2-4\cdot2\cdot(-15)=49+120=169=13^2 \]
- Корни:
\[ x_{1,2}=\frac{7\pm13}{4} \]
\[ x_1=\frac{7-13}{4}=-\frac32,\qquad x_2=\frac{7+13}{4}=5 \]
- Ветви параболы \(y=2x^2-7x-15\) направлены вверх, потому что коэффициент при \(x^2\) положительный: \(2>0\).
Значит, выражение больше нуля вне промежутка между корнями, а меньше нуля — между ними.
- Неравенство нестрогое: \(\ge 0\), поэтому сами корни включаем в ответ:
\[ \boxed{\left(-\infty;-\frac32\right]\cup[5;+\infty)} \]
Проверка:
При \(x=0\):
\[ 2\cdot0^2-7\cdot0-15=-15<0 \]
Значит, промежуток между корнями действительно не подходит.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?обьясни пожалуйста и создай график
Ответ остаётся тем же:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac32\right]\cup[5;+\infty)} \]
Откуда берётся \(x\)
В неравенстве
\[ 2x^2-7x-15\ge 0 \]
\(x\) — это неизвестное число, которое мы подставляем. Нам нужно найти все такие \(x\), при которых выражение слева не меньше нуля.
Обозначим левую часть:
\[ f(x)=2x^2-7x-15 \]
Тогда нас интересует:
\[ f(x)\ge 0 \]
Зачем на 2-м этапе появилось уравнение?
Чтобы понять, где выражение равно нулю, решаем вспомогательное уравнение:
\[ 2x^2-7x-15=0 \]
Это точки, в которых график пересекает ось \(Ox\). Там знак выражения может поменяться.
Коэффициенты:
\[ a=2,\quad b=-7,\quad c=-15 \]
Дискриминант:
\[ D=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot2\cdot(-15)=49+120=169 \]
\[ \sqrt D=13 \]
Общая формула корней:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]
Подставляем:
\[ x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm13}{2\cdot2} = \frac{7\pm13}{4} \]
Отсюда:
\[ x_1=\frac{7-13}{4}=-\frac32 \]
\[ x_2=\frac{7+13}{4}=5 \]
Обозначение \(x_{1,2}\) означает просто «два корня уравнения». Сам \(x\) появился потому, что мы искали значения неизвестной \(x\), при которых выражение равно нулю.
Можно ещё разложить:
\[ 2x^2-7x-15=(2x+3)(x-5) \]
Тогда:
\[ (2x+3)(x-5)\ge 0 \]
Нули: \(x=-\frac32\) и \(x=5\).
Знаки выражения
Парабола ветвями вверх, потому что коэффициент при \(x^2\) равен \(2>0\). Поэтому она положительна снаружи промежутка между корнями и отрицательна между ними.
| \(x\) | \((-\infty;-\frac32)\) | \(-\frac32\) | \((-\frac32;5)\) | \(5\) | \((5;+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(2x^2-7x-15\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Условие \(\ge 0\), значит корни включаем:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac32\right]\cup[5;+\infty)} \]
График
Схематичный график параболы \(y=2x^2-7x-15\): она пересекает ось \(x\) в точках \(-1{,}5\) и \(5\); выше оси она находится слева от \(-1{,}5\) и справа от \(5\).
На графике:
- в точках \(x=-1{,}5\) и \(x=5\) выражение равно \(0\);
- между ними парабола ниже оси \(x\), поэтому выражение отрицательно;
- слева и справа парабола выше оси \(x\), поэтому выражение положительно;
- так как знак \(\ge\), сами точки \(-1{,}5\) и \(5\) входят в ответ.
