120,121,122,123чыгарып бер
Краткие ответы
| № | а | б | в | г |
|---|---|---|---|---|
| 120 | \(-\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{3\pi}{4}\) |
| 121 | \(0\) | \(-\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(-\dfrac{\pi}{4}\) |
| 122 | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(0\) |
| 123 | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(-\dfrac{\pi}{4}\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) |
Как это получается
Обратные тригонометрические функции возвращают угол из определённого промежутка:
\[ \arcsin a \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],\qquad \arccos a \in [0;\pi], \] \[ \operatorname{arctg} a \in \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right). \]
Поэтому сначала вспоминаем табличное значение, а потом выбираем нужный угол.
Полезные правила:
\[ \arcsin(-a)=-\arcsin a, \] \[ \arccos(-a)=\pi-\arccos a, \] \[ \operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg}a. \]
120. Уравнения с промежутком
У тангенса и котангенса период \(\pi\), поэтому из общего решения
\[
t=t_0+\pi k
\]
берём только то значение, которое попадает в указанный промежуток.
- а) \(\operatorname{tg}t=-1\). Подходит \(t=-\frac{\pi}{4}\).
- б) \(\operatorname{ctg}t=\sqrt3\), \(t\in(0;\pi)\). Подходит \(t=\frac{\pi}{6}\), так как \(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}=\sqrt3\).
- в) \(\operatorname{tg}t=\sqrt3\). Подходит \(t=\frac{\pi}{3}\).
- г) \(\operatorname{ctg}t=-1\), \(t\in(0;\pi)\). Подходит \(t=\frac{3\pi}{4}\).
Например, проверка: \[ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}=\sqrt3,\qquad \operatorname{tg}\frac{3\pi}{4}=-1. \]
121–123. Обратные функции
Используем табличные углы:
\[ \sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\quad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}. \]
Например:
- \(\arcsin 1=\frac{\pi}{2}\), потому что \(\sin\frac{\pi}{2}=1\);
- \(\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}\);
- \(\arccos\left(-\frac12\right)=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\);
- \(\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\);
- \(\operatorname{arctg}\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\pi}{6}\), потому что \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}\);
- \(\operatorname{arctg}(-1)=-\frac{\pi}{4}\).
Алгоритм для похожего задания: определи обратную функцию → вспомни её промежуток значений → найди табличный угол по модулю → поставь знак или для \(\arccos\) дополни угол до \(\pi\) → для уравнения добавь период \(\pi k\) и отбери корни по промежутку.
