Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).

Ключевая идея: произведение равно нулю

Если выражение можно разложить на множители, то уравнение решается почти устно:

\[ (x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \;\Rightarrow\; x=2, \qquad x-3=0 \;\Rightarrow\; x=3. \]

Как найти такие множители

Для уравнения \(x^2-5x+6=0\) ищем два числа, которые:

• в сумме дают \(5\) (число с противоположным знаком к коэффициенту при \(x\));
• в произведении дают \(6\) (свободный член).

Это \(2\) и \(3\): \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\). Поэтому

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Это теорема Виета: для \(x^2+px+q=0\) корни удовлетворяют \(x_1+x_2=-p\), \(x_1x_2=q\).

Универсальный способ — через дискриминант

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2} \]

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3. \]

Проверка

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Оба корня подходят.

Принцип для похожих заданий: сначала попробуй разложить на множители по теореме Виета (это быстрее), а если числа не подбираются — считай дискриминант. Знак \(D\) сразу говорит, сколько корней: \(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.