Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3
\]
Как решать:
Ищем два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма равна \(5\): \[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5 \] Значит, эти числа подходят как корни.
Раскладываем на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \] Отсюда: \[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3 \]
Проверка:
При \(x=2\):
\[
2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0
\]
При \(x=3\):
\[
3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0
\]
Всё верно.
Принцип: квадратное уравнение можно решить разложением на множители: если \((x-a)(x-b)=0\), то корни — \(a\) и \(b\).
Обсуждение
2 сообщенияА как решать, если корни не целые?
Если корни не целые, подбор множителей часто не срабатывает — тогда используй формулу дискриминанта.
Для уравнения
\[
ax^2+bx+c=0
\]
сначала считаем:
\[
D=b^2-4ac
\]
Затем: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
Важно:
- \(D>0\) — два действительных корня;
- если \(\sqrt D\) не извлекается, корни оставляют с корнем, например \(\frac{5+\sqrt{21}}2\);
- \(D=0\) — один корень;
- \(D<0\) — действительных корней нет.
Пример:
\[
x^2-5x+1=0
\]
\[
D=(-5)^2-4\cdot1\cdot1=25-4=21
\]
\[
x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{21}}2
\]
То есть:
\[
x_1=\frac{5-\sqrt{21}}2,\qquad
x_2=\frac{5+\sqrt{21}}2
\]
Проверка по теореме Виета:
\[
x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=1
\]
Всё сходится.
Принцип: если целые корни не подбираются, уравнение не «ломается» — просто корни выражаются через дробь и квадратный корень.
