Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Как решать:
Уравнение \(x^2-5x+6=0\) — квадратное. Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\).
Найдём дискриминант:
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]
Так как \(D>0\), корней два:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{5\pm1}{2} \]
Значит:
\[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2 \]
Проверка:
Для \(x=2\): \(4-10+6=0\).
Для \(x=3\): \(9-15+6=0\). Всё верно.
Тот же пример можно решить разложением: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), поэтому корни \(2\) и \(3\). Принцип: если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю.
Обсуждение
4 сообщенияБез примеров только решение
\[ x_1=2,\quad x_2=3 \]
Ответ: \(2;\ 3\).
Не очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
«Второй этап» — это подстановка в формулу корней. Разберём, откуда она берётся и что означает \(x\).
1. Что такое \(x\)
\(x\) — это неизвестное число, которое мы ищем. Уравнение \(x^2-5x+6=0\) спрашивает: при каком \(x\) выражение слева равно нулю? Ответов два, поэтому их обозначают \(x_1\) и \(x_2\) — это просто «первый корень» и «второй корень», одна и та же переменная \(x\) с номерами.
2. Откуда берётся формула
Берём общее уравнение \(ax^2+bx+c=0\). Разделим всё на \(a\):
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \]
Выделим полный квадрат:
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \]
Справа стоит \(\dfrac{D}{4a^2}\), где \(D=b^2-4ac\). Извлекаем корень:
\[ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{D}}{2a} \]
Переносим \(\frac{b}{2a}\) вправо:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
Вот и появился \(x\): он всё время был неизвестным, а формула — это просто результат преобразования уравнения, а не что-то взятое с потолка.
3. Как это работает в нашем уравнении
Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\), значит \(D=25-24=1\). Подставляем:
\[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm 1}{2} \]
Знак «\(\pm\)» даёт два значения: \(\frac{5+1}{2}=3\) и \(\frac{5-1}{2}=2\). Это и есть \(x_1\) и \(x_2\).
