Реши
\[ \frac{\log_2 48}{3+\log_2 6}=1 \]
Короткое решение:
Заметим, что
\[
3=\log_2 8,
\]
так как \(2^3=8\).
Тогда знаменатель: \[ 3+\log_2 6=\log_2 8+\log_2 6 =\log_2(8\cdot 6)=\log_2 48. \]
Значит: \[ \frac{\log_2 48}{3+\log_2 6} =\frac{\log_2 48}{\log_2 48}=1. \]
Принцип: при сложении логарифмов с одинаковым основанием \[ \log_a x+\log_a y=\log_a(xy). \] Поэтому число \(3\) удобно записать как логарифм: \(3=\log_2 8\), после чего знаменатель сворачивается в один логарифм.
Ответ: \(1\).
Обсуждение
2 сообщения(log2 20)/(log2 12)+log12 0,005
\[ \frac{\log_2 20}{\log_2 12}+\log_{12}0{,}005 = -\log_{12}10 \]
Решение по шагам:
По формуле перехода к другому основанию: \[ \frac{\log_2 20}{\log_2 12}=\log_{12}20. \]
Тогда всё выражение: \[ \log_{12}20+\log_{12}0{,}005. \]
Применяем свойство суммы логарифмов: \[ \log_a x+\log_a y=\log_a(xy). \]
Получаем: \[ \log_{12}(20\cdot0{,}005)=\log_{12}0{,}1. \]
А так как \(0{,}1=\frac1{10}\): \[ \log_{12}0{,}1=-\log_{12}10. \]
Ответ: \[ \boxed{-\log_{12}10} \] или, в другой записи, \[ \boxed{\log_{12}0{,}1\approx -0{,}927}. \]
Если в условии должно было быть \(\log_{12}0{,}05\), то ответ был бы \(0\). Но при \(0{,}005\) получается \(-\log_{12}10\).
