Номер 71 реши

Ниже — подробное решение № 71. Для каждой функции ищу \(f'(x)\), критические точки и проверяю, меняется ли знак производной. Точки экстремума записываю в виде \((x_0;y_0)\). Считаем \(k\in\mathbb Z\).

---

1) \(f(x)=x^2-\dfrac{x^4}{2}\)

\[ f'(x)=2x-2x^3=2x(1-x^2)=2x(1-x)(1+x) \]

Критические точки:

\[ x=-1,\quad x=0,\quad x=1 \]

Знаки \(f'(x)\):

• \(x<-1\): \(f'>0\);
• \(-1<x<0\): \(f'<0\);
• \(0<x<1\): \(f'>0\);
• \(x>1\): \(f'<0\).

Значит:

• при \(x=-1\): \(+\to-\), максимум;
• при \(x=0\): \(-\to+\), минимум;
• при \(x=1\): \(+\to-\), максимум.

Значения:

\[ f(-1)=1-\frac12=\frac12,\qquad f(0)=0,\qquad f(1)=\frac12. \]

Ответ:
максимумы: \(\left(-1;\frac12\right)\), \(\left(1;\frac12\right)\);
минимум: \((0;0)\).

---

2) \(f(x)=(x-4)^8\)

\[ f'(x)=8(x-4)^7. \]

Критическая точка:

\[ x=4. \]

При \(x<4\) производная отрицательна, при \(x>4\) — положительна:

\[ -\to+. \]

Значит, \(x=4\) — точка минимума.

\[ f(4)=0. \]

Ответ:
минимум: \((4;0)\); максимума нет.

---

3) \(f(x)=4-2x^3-3x^2\)

\[ f'(x)=-6x^2-6x=-6x(x+1). \]

Критические точки:

\[ x=-1,\quad x=0. \]

Знаки производной:

• \(x<-1\): \(f'<0\);
• \(-1<x<0\): \(f'>0\);
• \(x>0\): \(f'<0\).

Значит:

• \(x=-1\): \(-\to+\), минимум;
• \(x=0\): \(+\to-\), максимум.

Значения:

\[ f(-1)=4+2-3=3, \]

\[ f(0)=4. \]

Ответ:
минимум: \((-1;3)\);
максимум: \((0;4)\).

---

4) \(f(x)=\dfrac{x}{5}+\dfrac{5}{x},\quad x\ne0\)

\[ f'(x)=\frac15-\frac{5}{x^2} =\frac{x^2-25}{5x^2} =\frac{(x-5)(x+5)}{5x^2}. \]

Критические точки:

\[ x=-5,\quad x=5. \]

Точка \(x=0\) не входит в область определения.

Знаки \(f'(x)\):

• \(x<-5\): \(f'>0\);
• \(-5<x<0\): \(f'<0\);
• \(0<x<5\): \(f'<0\);
• \(x>5\): \(f'>0\).

Значит:

• \(x=-5\): \(+\to-\), максимум;
• \(x=5\): \(-\to+\), минимум.

Значения:

\[ f(-5)=\frac{-5}{5}+\frac{5}{-5}=-1-1=-2, \]

\[ f(5)=\frac55+\frac55=1+1=2. \]

Ответ:
максимум: \((-5;-2)\);
минимум: \((5;2)\).

---

5) \(f(x)=x^4-2x^3+x^2-3\)

\[ f'(x)=4x^3-6x^2+2x=2x(2x-1)(x-1). \]

Критические точки:

\[ x=0,\quad x=\frac12,\quad x=1. \]

Знаки производной:

• \(x<0\): \(f'<0\);
• \(0<x<\frac12\): \(f'>0\);
• \(\frac12<x<1\): \(f'<0\);
• \(x>1\): \(f'>0\).

Значит:

• \(x=0\): \(-\to+\), минимум;
• \(x=\frac12\): \(+\to-\), максимум;
• \(x=1\): \(-\to+\), минимум.

Значения:

\[ f(0)=-3, \]

\[ f\left(\frac12\right) =\frac1{16}-2\cdot\frac18+\frac14-3 =\frac1{16}-3 =-\frac{47}{16}, \]

\[ f(1)=1-2+1-3=-3. \]

Ответ:
минимумы: \((0;-3)\), \((1;-3)\);
максимум: \(\left(\frac12;-\frac{47}{16}\right)\).

---

6) \(f(x)=3\operatorname{tg}x\)

Область определения:

\[ x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k. \]

\[ f'(x)=\frac{3}{\cos^2 x}>0 \]

на каждом промежутке области определения. Производная положительна, значит функция возрастает на каждом интервале непрерывности.

Ответ: экстремумов нет.

---

7) \(f(x)=2\sin x+3\)

\[ f'(x)=2\cos x. \]

Критические точки:

\[ \cos x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k. \]

Проверяем знак:

• в точках \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\) производная меняется с \(+\) на \(-\), это максимум;
• в точках \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k\) производная меняется с \(-\) на \(+\), это минимум.

Значения:

\[ f\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=2\cdot1+3=5, \]

\[ f\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=2\cdot(-1)+3=1. \]

Ответ:
максимумы: \(\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k;5\right)\);
минимумы: \(\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k;1\right)\).

---

8) \(f(x)=-5\cos x-7\)

\[ f'(x)=5\sin x. \]

Критические точки:

\[ \sin x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pi k. \]

Если \(k\) чётное, то есть \(x=2\pi k\):

\[ f(2\pi k)=-5-7=-12, \]

производная меняется с \(-\) на \(+\), значит это минимум.

Если \(k\) нечётное, то есть \(x=\pi+2\pi k\):

\[ f(\pi+2\pi k)=5-7=-2, \]

производная меняется с \(+\) на \(-\), значит это максимум.

Ответ:
минимумы: \((2\pi k;-12)\);
максимумы: \((\pi+2\pi k;-2)\).

---

9) \(f(x)=x^4-x^3+4\)

\[ f'(x)=4x^3-3x^2=x^2(4x-3). \]

Критические точки:

\[ x=0,\quad x=\frac34. \]

Знак производной определяется выражением \(4x-3\), так как \(x^2\ge0\):

• при \(x<\frac34\), кроме \(x=0\), производная отрицательна;
• при \(x>\frac34\) производная положительна.

В точке \(x=0\) знак не меняется: было \(-\), осталось \(-\). Значит, экстремума в \(x=0\) нет.

В точке \(x=\frac34\) знак меняется с \(-\) на \(+\), значит это минимум.

\[ f\left(\frac34\right) =\left(\frac34\right)^4-\left(\frac34\right)^3+4 =\frac{81}{256}-\frac{108}{256}+\frac{1024}{256} =\frac{997}{256}. \]

Ответ:
минимум: \(\left(\frac34;\frac{997}{256}\right)\);
максимума нет.

Если в задании нужны только значения \(x\), то берём первые координаты найденных точек.