Реши задание на изображении
Ниже — решения для Варианта 2.
Краткие ответы
a) \(x=-8;\ 0;\ 8\)
б) \(x=-5;\ -1;\ 1\)
в) \(x=-3;\ 4\)
г) \(x=-1;\ 3\)a) \((x-1)(x-7)\)
б) \((y-1)(5y-3)\)\(\dfrac{4y+5}{4}\), где \(y\neq 1\)
\(2\) км/ч
Как это решается
1а. \(x^3-64x=0\)
Выносим общий множитель и раскладываем разность квадратов:
\[ x(x^2-64)=0 \]
\[ x(x-8)(x+8)=0 \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x=0,\quad x=8,\quad x=-8 \]
1б. \(x^3+5x^2-x-5=0\)
Группируем:
\[ x^2(x+5)-(x+5)=0 \]
\[ (x+5)(x^2-1)=0 \]
\[ (x+5)(x-1)(x+1)=0 \]
Отсюда:
\[ x=-5,\quad x=1,\quad x=-1 \]
1в. \((x^2-x+1)(x^2-x-7)=65\)
Главный приём — замена переменной. Пусть
\[ t=x^2-x \]
Тогда уравнение принимает вид:
\[ (t+1)(t-7)=65 \]
\[ t^2-6t-7=65 \]
\[ t^2-6t-72=0 \]
Корни:
\[ t=12,\quad t=-6 \]
Возвращаемся к \(x\).
Если \(t=12\):
\[ x^2-x=12 \]
\[ x^2-x-12=0 \]
\[ (x-4)(x+3)=0 \]
\[ x=4,\quad x=-3 \]
Если \(t=-6\):
\[ x^2-x=-6 \]
\[ x^2-x+6=0 \]
Дискриминант:
\[ D=1-24=-23<0 \]
Действительных корней нет.
Ответ:
\[ x=-3;\ 4 \]
1г. \(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{2x+1}{x^2-4}\)
Сначала ОДЗ:
\[ x\neq 2,\quad x\neq -2 \]
Так как
\[ x^2-4=(x-2)(x+2), \]
умножим уравнение на \((x-2)(x+2)\):
\[ 2(x+2)-x(x-2)=2x+1 \]
Раскрываем скобки:
\[ 2x+4-x^2+2x=2x+1 \]
\[ -x^2+4x+4=2x+1 \]
\[ -x^2+2x+3=0 \]
Умножим на \(-1\):
\[ x^2-2x-3=0 \]
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
\[ x=3,\quad x=-1 \]
Оба корня не запрещены ОДЗ.
Ответ:
\[ x=-1;\ 3 \]
2. Разложение квадратного трёхчлена на множители
Используется формула:
\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), \]
где \(x_1,x_2\) — корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\).
a) \(x^2-8x+7\)
По теореме Виета:
\[ x_1+x_2=8,\quad x_1x_2=7 \]
Корни: \(1\) и \(7\). Значит:
\[ x^2-8x+7=(x-1)(x-7) \]
б) \(5y^2-8y+3\)
Находим корни:
\[ D=64-60=4 \]
\[ y_{1,2}=\frac{8\pm2}{10} \]
\[ y_1=1,\quad y_2=\frac35 \]
Тогда:
\[ 5y^2-8y+3=5(y-1)\left(y-\frac35\right) \]
Раскрываем коэффициент:
\[ 5\left(y-\frac35\right)=5y-3 \]
Поэтому:
\[ 5y^2-8y+3=(y-1)(5y-3) \]
3. \(\dfrac{4y^2+y-5}{4y-4}\)
Раскладываем числитель:
\[ 4y^2+y-5=(y-1)(4y+5) \]
Знаменатель:
\[ 4y-4=4(y-1) \]
Получаем:
\[ \frac{(y-1)(4y+5)}{4(y-1)} \]
При \(y\neq1\) сокращаем:
\[ \frac{4y+5}{4} \]
Важно: \(y=1\) нужно исключить, потому что при нём исходный знаменатель равен нулю.
4. Задача про теплоход
Пусть скорость течения реки равна \(v\) км/ч, причём
\[ v<5 \]
Тогда скорость по течению:
\[ 18+v \]
Скорость против течения:
\[ 18-v \]
Время по течению:
\[ \frac{50}{18+v} \]
Время против течения:
\[ \frac{8}{18-v} \]
Всего затрачено \(3\) часа:
\[ \frac{50}{18+v}+\frac{8}{18-v}=3 \]
Умножаем на \((18+v)(18-v)\):
\[ 50(18-v)+8(18+v)=3(18+v)(18-v) \]
Раскрываем скобки:
\[ 900-50v+144+8v=3(324-v^2) \]
\[ 1044-42v=972-3v^2 \]
\[ 3v^2-42v+72=0 \]
Делим на \(3\):
\[ v^2-14v+24=0 \]
\[ (v-2)(v-12)=0 \]
\[ v=2 \quad \text{или} \quad v=12 \]
По условию \(v<5\), поэтому подходит только:
\[ v=2 \]
Ответ: \(2\) км/ч.
Проверка
В 1в при \(x=4\):
\[ (16-4+1)(16-4-7)=13\cdot5=65 \] Верно.В 4 при \(v=2\):
\[ \frac{50}{20}+\frac{8}{16}=2{,}5+0{,}5=3 \] Верно.
