Реши задание на изображении

Задачи

1. Строим прямоугольный треугольник так, чтобы прилежащий к искомому углу катет и гипотенуза относились как:

   1. \(3:5\); 2) \(4:9\); 3) \(1:2\) (угол \(60^\circ\)); 4) \(4:5\).
      Искомый угол — между этим катетом и гипотенузой.

2. \(c=\sqrt{a^2+b^2}\):

   1. \(5\); 2) \(\sqrt2\); 3) \(\sqrt{61}\).

3. \(b=\sqrt{c^2-a^2}\):

   1. \(4\); 2) \(12\); 3) \(\sqrt{11}\).

4. Третья сторона: \(5\) м (если \(3\) и \(4\) — катеты) или \(\sqrt7\) м (если \(4\) — гипотенуза).

5. Нет: \(7^2\ne5^2+6^2\), то есть \(49\ne61\).

6. Сторона ромба:
   \[ s=\frac12\sqrt{d_1^2+d_2^2}. \]
   На фото видно только \(d_1=6\) см; нужна вторая диагональ.

Вопросы 9–14

9. \(\sin\alpha=\frac ac,\ \cos\alpha=\frac bc,\ \operatorname{tg}\alpha=\frac ab,\ \operatorname{ctg}\alpha=\frac ba\).
   При равном остром угле прямоугольные треугольники подобны, поэтому отношения сторон одинаковы.

10. Если \(a\) — противолежащий углу \(\alpha\) катет, \(b\) — прилежащий, \(c\) — гипотенуза:
    \[ a=c\sin\alpha=b\operatorname{tg}\alpha,\qquad b=c\cos\alpha=a\operatorname{ctg}\alpha. \]

11. Из \(a^2+b^2=c^2\): \[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1; \] \[ 1+\operatorname{tg}^2\alpha=1+\frac{a^2}{b^2} =\frac{c^2}{b^2}=\frac1{\cos^2\alpha}; \] \[ 1+\operatorname{ctg}^2\alpha=1+\frac{b^2}{a^2} =\frac{c^2}{a^2}=\frac1{\sin^2\alpha}. \]

12. У второго острого угла \(90^\circ-\alpha\) противолежащий и прилежащий катеты меняются местами: \[ \sin(90^\circ-\alpha)=\frac bc=\cos\alpha,\quad \cos(90^\circ-\alpha)=\frac ac=\sin\alpha. \]

13. Порядок: \(\sin,\cos,\operatorname{tg},\operatorname{ctg}\).
    \(30^\circ:\ \frac12,\ \frac{\sqrt3}{2},\ \frac{\sqrt3}{3},\ \sqrt3\);
    \(45^\circ:\ \frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt2}{2},\ 1,\ 1\);
    \(60^\circ:\ \frac{\sqrt3}{2},\ \frac12,\ \sqrt3,\ \frac{\sqrt3}{3}\).

14. При возрастании \(\alpha\) от \(0^\circ\) до \(90^\circ\) на единичной окружности ордината \(\sin\alpha\) растёт, абсцисса \(\cos\alpha\) убывает. Поэтому \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) растёт, а \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) убывает.