Номер 71
Краткий ответ
Для функции находят производную \(f'(x)\), приравнивают её к нулю и смотрят, как меняется знак производной при переходе через критическую точку:
- «+» → «−» — локальный максимум;
- «−» → «+» — локальный минимум;
- знак не меняется — экстремума нет.
| № | Точки локального максимума | Точки локального минимума |
|---|---|---|
| 1 | \(x=-1,\ x=1\); \(y=\frac12\) | \(x=0\); \(y=0\) |
| 2 | нет | \(x=4\); \(y=0\) |
| 3 | \(x=0\); \(y=4\) | \(x=-1\); \(y=3\) |
| 4 | \(x=-5\); \(y=-2\) | \(x=5\); \(y=2\) |
| 5 | \(x=\frac12\); \(y=-\frac{47}{16}\) | \(x=0,\ x=1\); \(y=-3\) |
| 6 | нет | нет |
| 7 | \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\); \(y=5\) | \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\); \(y=1\) |
| 8 | \(x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\); \(y=-2\) | \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z\); \(y=-12\) |
| 9 | нет | \(x=\frac34\); \(y=\frac{997}{256}\) |
Как рассуждать (на примере № 1)
\[ f(x)=x^2-\frac12x^4. \]
- Область определения — все \(x\).
- Производная: \[ f'(x)=2x-2x^3=2x(1-x^2)=2x(1-x)(1+x). \]
- Критические точки: \(x=-1,\ 0,\ 1\).
- Знаки производной:
\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-1) & (-1;0) & (0;1) & (1;+\infty)\\ \hline f'(x) & + & - & + & - \end{array} \]
- Вывод:
- в \(x=-1\) знак меняется с «+» на «−» — максимум;
- в \(x=0\) с «−» на «+» — минимум;
- в \(x=1\) с «+» на «−» — максимум.
Значения: \[ f(-1)=\frac12,\quad f(0)=0,\quad f(1)=\frac12. \]
Важный случай (№ 9): если производная равна нулю, но знак не меняется, экстремума нет. Например, у \(f(x)=x^4-x^3+4\): \[ f'(x)=x^2(4x-3). \] В точке \(x=0\) производная нулевая, но она была отрицательной слева и осталась отрицательной справа — значит, это не экстремум. А в \(x=\frac34\) знак меняется с «−» на «+», поэтому там минимум.
Проверка: подставь найденные \(x\) в исходную функцию — значения в таблице совпадают. Для периодических функций (№ 7, 8) из-за периодичности получаются серии точек.
