Реши задание на изображении

На фото не один номер, а целый блок задач. Ниже решения всех задач №1–11.

Краткие ответы

1. Углы строятся через прямоугольный треугольник, у которого
   \[ \cos\alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}. \] Для \(0{,}5\) получится угол \(60^\circ\).
2. \(5;\ \sqrt2;\ \sqrt{61}\).
3. \(4;\ 12;\ \sqrt{11}\).
4. \(5\) м или \(\sqrt7\) м.
5. Нет.
6. \(5\) см; \(17\) дм; \(6{,}5\) м.
7. \(109\) см.
8. \(\dfrac{d}{\sqrt2}=\dfrac{d\sqrt2}{2}\).
9. Нельзя.
10. \(\sqrt7\) м.
11. \(\dfrac12\sqrt{4b^2-a^2}\).

Как это получается

1. Углы по косинусу

Для \(\cos\alpha=\dfrac{p}{q}\):

• на луче откладываем отрезок \(AB=p\);
• в точке \(B\) строим перпендикуляр;
• из точки \(A\) радиусом \(q\) делаем засечку на перпендикуляре — получаем точку \(C\).

Тогда в прямоугольном треугольнике \(ABC\)
\[ \cos\angle BAC=\frac{AB}{AC}=\frac{p}{q}. \]

Поэтому:

1. \(\cos\alpha=\frac35\): берём катет \(3\), гипотенузу \(5\);
2. \(\cos\alpha=\frac49\): катет \(4\), гипотенуза \(9\);
3. \(0{,}5=\frac12\): катет \(1\), гипотенуза \(2\), угол \(60^\circ\);
4. \(0{,}8=\frac45\): катет \(4\), гипотенуза \(5\).

2–3. Теорема Пифагора

\[ c^2=a^2+b^2. \]

№2.

1. \(c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\);
2. \(c=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\);
3. \(c=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}\).

№3.

\[ b=\sqrt{c^2-a^2}. \]

1. \(b=\sqrt{25-9}=4\);
2. \(b=\sqrt{169-25}=12\);
3. \(b=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}\).

4. Два случая

• Если \(3\) м и \(4\) м — катеты, то
  \[ c=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ м}. \]
• Если \(4\) м — гипотенуза, а \(3\) м — катет, то
  \[ x=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt7\text{ м}. \]

Ответ: \(5\) м или \(\sqrt7\) м.

5. Пропорциональность \(5:6:7\)

Гипотенуза должна быть наибольшей стороной, то есть соответствовать \(7k\). Проверяем:

\[ (7k)^2=49k^2, \] \[ (5k)^2+(6k)^2=25k^2+36k^2=61k^2. \]

\(49k^2\ne61k^2\), значит, такой прямоугольный треугольник невозможен.

6. Сторона ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Поэтому сторона ромба — гипотенуза треугольника с катетами \(\frac{d_1}{2}\) и \(\frac{d_2}{2}\):

\[ a=\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}. \]

1. \[ a=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ см}. \]

2. \[ a=\sqrt{8^2+15^2}=17\text{ дм}. \]

3. \[ a=\sqrt{2{,}5^2+6^2}=\sqrt{42{,}25}=6{,}5\text{ м}. \]

7. Диагональ прямоугольника

\[ d=\sqrt{60^2+91^2} =\sqrt{3600+8281} =\sqrt{11881}=109\text{ см}. \]

8. Сторона квадрата

Если сторона квадрата \(a\), то диагональ:

\[ d=a\sqrt2. \]

Значит,

\[ a=\frac{d}{\sqrt2}=\frac{d\sqrt2}{2}. \]

9. Квадрат из круглого листа

Диагональ квадрата со стороной \(1\) м:

\[ 1\sqrt2=\sqrt2\approx1{,}414\text{ м}. \]

Это больше диаметра листа \(1{,}4\) м. Значит, квадрат со стороной \(1\) м не помещается.

Ответ: нельзя.

10. Высота равнобокой трапеции

Разность оснований:

\[ 11-5=6\text{ м}. \]

В равнобокой трапеции эта разность делится пополам:

\[ 6:2=3\text{ м}. \]

Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой \(4\) м и катетом \(3\) м. Высота:

\[ h=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt7\text{ м}. \]

11. Медиана к основанию

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и высотой. Поэтому:

\[ m=\sqrt{b^2-\left(\frac a2\right)^2} =\frac12\sqrt{4b^2-a^2}. \]

Главный принцип

Почти все эти задачи сводятся к прямоугольному треугольнику:

• диагональ прямоугольника или квадрата;
• половины диагоналей ромба;
• высота трапеции;
• медиана равнобедренного треугольника.

Нужно найти прямоугольный треугольник, определить в нём гипотенузу и катеты, а затем применить теорему Пифагора.