Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$x_1 = 2$, $x_2 = 3$ (корни можно записывать в любом порядке).
Как решать — три способа
Способ 1. По теореме Виета (самый быстрый, если коэффициент при $x^2$ равен 1)
Для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$: $$x_1 + x_2 = -p = 5, \qquad x_1 \cdot x_2 = q = 6.$$ Ищем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении 6. Это 2 и 3: $2 + 3 = 5$, $2 \cdot 3 = 6$. ✔
Способ 2. Через дискриминант (универсальный)
$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.$$ $D > 0$ — два корня: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}.$$ Отсюда $x_1 = \frac{5-1}{2} = 2$, $x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$.
Способ 3. Разложением на множители
Находим числа $m, n$ с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3, значит: $$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0.$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: $x = 2$ или $x = 3$.
Проверка
- $x = 2$: $4 - 10 + 6 = 0$ ✔
- $x = 3$: $9 - 15 + 6 = 0$ ✔
Принцип, который стоит запомнить
- Приведи уравнение к виду $ax^2+bx+c=0$ и выпиши $a$, $b$, $c$ с их знаками — здесь $a=1$, $b=-5$, $c=6$ (минус перед 5 терять нельзя).
- Если коэффициент при $x^2$ равен 1 и корни «красивые» — быстрее всего Виета: сумма корней равна $-b$, произведение равно $c$.
- Если числа не подбираются — дискриминант: $D>0$ два корня, $D=0$ один, $D<0$ корней нет.
- Всегда подставляй найденные корни в исходное уравнение — это ловит ошибки со знаками.
