Упражнения 100 в
Краткий ответ:
\[
x=-3
\]
То есть множество решений: \(\{-3\}\), или промежуток \([-3;-3]\).
Решение пункта в): \[ x^2+6x+9\le 0 \]
Сворачиваем левую часть по формуле квадрата суммы: \[ x^2+6x+9=(x+3)^2 \]
Получаем: \[ (x+3)^2\le 0 \]
Квадрат любого числа неотрицателен: \[ (x+3)^2\ge 0 \]
Значит, неравенство \(\le 0\) может выполняться только при равенстве нулю: \[ (x+3)^2=0 \] \[ x+3=0 \] \[ x=-3 \]
Проверка:
При \(x=-3\):
\[
(-3)^2+6\cdot(-3)+9=9-18+9=0
\]
\[
0\le 0
\]
— верно.
Если взять любое другое число, например \(x=0\), то получим \(9\le0\), что неверно. Значит, других решений нет.
Принцип: если квадратный трёхчлен равен квадрату \((x-x_0)^2\), то неравенство \(\le 0\) имеет единственное решение \(x=x_0\). Парабола касается оси \(Ox\) в этой точке и не опускается ниже неё.
Обсуждение
2 сообщенияМожно подробнее
Разберём пункт в) ещё подробнее.
Неравенство: \[ x^2+6x+9\le 0 \]
1. Замечаем формулу
Левая часть — полный квадрат: \[ x^2+6x+9=x^2+2\cdot 3\cdot x+3^2=(x+3)^2 \]
Поэтому неравенство можно переписать так: \[ (x+3)^2\le 0 \]
2. Используем свойство квадрата
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным: \[ (x+3)^2\ge 0 \]
А нам нужно, чтобы одновременно было: \[ (x+3)^2\le 0 \]
Оба условия могут выполняться только в одном случае: \[ (x+3)^2=0 \]
3. Решаем уравнение
\[ (x+3)^2=0 \] \[ x+3=0 \] \[ x=-3 \]
Значит, неравенству удовлетворяет только одно число: \[ \boxed{x=-3} \]
Множество решений: \[ \boxed{\{-3\}} \]
4. Почему нет других решений
Рассмотрим три случая:
| Значение \(x\) | Значение \((x+3)^2\) | Подходит ли \(\le 0\)? |
|---|---|---|
| \(x<-3\) | больше \(0\) | нет |
| \(x=-3\) | \(0\) | да |
| \(x>-3\) | больше \(0\) | нет |
Например:
- при \(x=-4\): \((-4+3)^2=(-1)^2=1>0\);
- при \(x=-2\): \((-2+3)^2=1^2=1>0\);
- при \(x=-3\): \((-3+3)^2=0^2=0\).
5. Графическое объяснение
График функции \[ y=(x+3)^2 \] — это парабола с вершиной в точке \((-3;0)\), ветви направлены вверх. Она касается оси \(Ox\) только в точке \(x=-3\) и во всех остальных точках находится выше оси.
Нам нужны точки, где график находится не выше оси \(Ox\), то есть \(y\le 0\). Такая точка только одна: \[ x=-3 \]
6. Проверка
Подставим \(x=-3\): \[ (-3)^2+6\cdot(-3)+9=9-18+9=0 \] \[ 0\le 0 \] Верно.
Ответ: \[ \boxed{x=-3} \] или \[ \boxed{x\in\{-3\}} \]
Главная идея: если выражение является квадратом, то оно всегда \(\ge 0\). Поэтому неравенство «квадрат \(\le 0\)» имеет решение только тогда, когда этот квадрат равен нулю.
