Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Как решать:
Ищем два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма равна \(5\): \[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5. \]
Поэтому уравнение раскладывается на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \] Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \] \[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Проверка:
- при \(x=2\): \(4-10+6=0\);
- при \(x=3\): \(9-15+6=0\).
Оба корня подходят.
Принцип: для уравнения \(x^2+bx+c=0\) можно искать числа, которые в сумме дают \(-b\), а в произведении \(c\); через них уравнение раскладывается на множители. Также можно проверить через дискриминант: \[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1, \] \[ x=\frac{5\pm1}{2}, \] то есть \(x=3\) или \(x=2\).
Обсуждение
4 сообщениянапиши все что надо писать в тетрадь
Пиши в тетрадь так:
\[ x^2-5x+6=0 \]
\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \]
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]
\[ D>0 \Rightarrow \text{уравнение имеет два корня.} \]
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]
\[ x_1=\frac{5+1}{2}=3 \]
\[ x_2=\frac{5-1}{2}=2 \]
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Если учитель требует проверку, можно добавить:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0; \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
откуда взялось D
\(D\) — это не «волшебная буква», а сокращённое обозначение выражения \(b^2-4ac\). Оно появляется, если решить уравнение \(ax^2+bx+c=0\) в общем виде.
Берём:
\[ ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0. \]
Умножим обе части на \(4a\):
\[ 4a^2x^2+4abx+4ac=0. \]
Теперь выделим квадрат:
\[ (2ax+b)^2=b^2-4ac. \]
Вот справа и появилось выражение \(b^2-4ac\). Его обозначают буквой \(D\):
\[ D=b^2-4ac. \]
Дальше:
\[ (2ax+b)^2=D, \]
\[ 2ax+b=\pm\sqrt D, \]
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
То есть \(D\) — это часть формулы корней. По нему сразу видно, сколько будет корней:
- \(D>0\) — два корня;
- \(D=0\) — один корень;
- \(D<0\) — действительных корней нет.
В нашем уравнении:
\[ x^2-5x+6=0, \]
\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6, \]
\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \]
Так как \(D=1>0\), корней два:
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2}, \]
\[ x_1=3,\qquad x_2=2. \]
В тетрадь обычно пишут просто формулу \(D=b^2-4ac\) и вычисляют её — отдельно выводить \(D\) каждый раз не нужно, если учитель этого не требует.
