Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).
Как решать
Уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), где
\(a=1,\ b=-5,\ c=6\).
Ищем два числа, которые:
- при умножении дают \(6\);
- при сложении дают \(5\) (так как по теореме Виета \(x_1+x_2=-b=5\)).
Это числа \(2\) и \(3\): \[ 2\cdot3=6,\qquad 2+3=5. \]
Значит: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0, \] поэтому \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка
Подставим \(x=2\): \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0. \]
Подставим \(x=3\): \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят.
Принцип: для приведённого квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\) можно искать корни по теореме Виета:
\[
x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.
\]
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Коротко: \(x\) в скобках появляется потому, что мы раскладываем выражение на два множителя, и при их перемножении должно получиться \(x^2\). А \(x^2\) получается только как \(x\cdot x\), поэтому каждая скобка начинается с \(x\).
1. Почему скобка начинается именно с \(x\)
Хотим записать: \[ x^2-5x+6=(x+a)(x+b) \]
Раскроем правую часть почленно: \[ (x+a)(x+b)=x\cdot x+x\cdot b+a\cdot x+ab=x^2+(a+b)x+ab. \]
Сравниваем с \(x^2-5x+6\):
| Слева | Справа | Вывод |
|---|---|---|
| \(x^2\) | \(x\cdot x\) | обе скобки начинаются с \(x\) |
| \(-5x\) | \((a+b)x\) | \(a+b=-5\) |
| \(6\) | \(ab\) | \(ab=6\) |
Вот и ответ на вопрос «откуда \(x\)»: он стоит в каждой скобке потому, что только \(x\cdot x\) даёт нужный \(x^2\).
2. Подбираем числа \(a\) и \(b\)
Нужны два числа, у которых:
- произведение \(6\);
- сумма \(-5\).
Это \(-2\) и \(-3\): \[ (-2)\cdot(-3)=6,\qquad (-2)+(-3)=-5. \]
Значит: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Обрати внимание: корни — это \(2\) и \(3\), а в скобках они стоят с минусом. Скобка \((x-2)\) обращается в ноль при \(x=2\), скобка \((x-3)\) — при \(x=3\). Именно это и нужно: множитель «обнуляется» в своём корне.
3. Проверка, что разложение верное
Раскроем обратно: \[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \] Получилось исходное выражение — разложение верно.
Можно проверить и числом, например \(x=10\): \[ (10-2)(10-3)=8\cdot7=56,\qquad 10^2-5\cdot10+6=100-50+6=56. \] Совпало.
4. Почему дальше пишем \(x-2=0\) и \(x-3=0\)
Уравнение приняло вид: \[ (x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому: \[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Запомни формулу
Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни, то \[ x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2), \] причём \(x_1+x_2=-p\), \(x_1x_2=q\).
В нашем случае \(p=-5,\ q=6\), поэтому корни дают в сумме \(5\), а в произведении \(6\) — это \(2\) и \(3\), а скобки записываются как \((x-2)(x-3)\).
Ответ: \(x_1=2,\ x_2=3\).
