Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x^2-5x+6=0
\]
Корни:
\[
x_1=2,\quad x_2=3.
\]
Как решать:
Разложим квадратный трёхчлен на множители. Нужны два числа, которые:
- в сумме дают \(5\),
- в произведении дают \(6\).
Это числа \(2\) и \(3\), поэтому: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Уравнение принимает вид: \[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \] Значит: \[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
Проверка:
- При \(x=2\): \(4-10+6=0\).
- При \(x=3\): \(9-15+6=0\).
Оба корня подходят.
Принцип: если уравнение приведённое, то есть имеет вид \(x^2+px+q=0\), можно искать два числа, сумма которых равна \(-p\), а произведение \(q\). Если разложение очевидно, это быстрее дискриминанта.
Обсуждение
2 сообщенияДелаем замену замена
Для этого уравнения удобно сделать замену-сдвиг, убирающую линейный член:
\[ x=t+\frac52. \]
Подставляем:
\[ \left(t+\frac52\right)^2-5\left(t+\frac52\right)+6=0. \]
Раскрываем скобки:
\[ t^2+5t+\frac{25}{4}-5t-\frac{25}{2}+6=0. \]
\[ t^2+\frac{25}{4}-\frac{50}{4}+\frac{24}{4}=0 \]
\[ t^2-\frac14=0. \]
Отсюда:
\[ t^2=\frac14,\qquad t=\pm\frac12. \]
Возвращаемся к \(x=t+\frac52\):
\[ x_1=\frac52+\frac12=3, \]
\[ x_2=\frac52-\frac12=2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=2,\quad x_2=3.} \]
Если под «заменой» ты имел в виду другую замену, например \(t=x^2\), уточни — для этого квадратного уравнения она не упрощает решение.
