Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Кратко: если \(D<0\), то действительных корней у уравнения нет — в ответе так и пишем: «корней нет» (уравнение не имеет решений в действительных числах).

Почему так

Формула корней:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]

При \(D<0\) выражение \(\sqrt{D}\) не существует среди действительных чисел: квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому из отрицательного числа корень извлечь нельзя.

То же видно из выделения полного квадрата. Например, для \(x^2-2x+5=0\):

\[ x^2-2x+5=(x-1)^2+4 \]

Слева всегда хотя бы \(4>0\), значит равенство нулю невозможно.

Пример

\[ x^2-2x+5=0 \]

\[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16<0 \]

Ответ: корней нет.

Геометрический смысл

График \(y=ax^2+bx+c\) — парабола. Если \(D<0\), она не пересекает ось \(Ox\): при \(a>0\) лежит выше неё, при \(a<0\) — ниже.

Не перепутай с \(D=0\)

• \(D>0\) — два разных корня;
• \(D=0\) — один корень \(x=-\dfrac{b}{2a}\) (иногда говорят «два совпадающих»);
• \(D<0\) — действительных корней нет.

В старших классах (и в вузе) вводят комплексные числа, и тогда при \(D<0\) пишут \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-D}}{2a}\). Например, для примера выше: \(x=1\pm 2i\). Но в школьном курсе 8 класса ответ — «корней нет».

Уточни, пожалуйста, что именно нужно: дробно-рациональные уравнения (где \(x\) в знаменателе) или действия с обыкновенными дробями (сложение, умножение и т. п.)?

Если речь об уравнениях с дробями, главный принцип уже можно назвать: сначала находим ОДЗ — знаменатели не равны нулю, потом умножаем обе части на общий знаменатель и обязательно проверяем корни. Пришли пример — разберём по шагам.

Дробно-рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная есть в знаменателе (или в знаменателе алгебраической дроби). Например:

\[ \frac{x}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}=1 \]

Главное отличие от обычного уравнения: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому появляется ОДЗ и обязательная проверка корней.

Алгоритм (5 шагов)

1. Найти ОДЗ — выписать все знаменатели и приравнять их к нулю; найденные значения переменной запрещены.
2. Разложить знаменатели на множители — чтобы увидеть общий знаменатель (часто помогает формула \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)).
3. Умножить обе части на общий знаменатель (или привести к общему знаменателю и приравнять числитель к нулю) — уравнение становится целым.
4. Решить полученное уравнение (линейное, квадратное и т. д.).
5. Проверить корни по ОДЗ — корни, совпавшие с запрещёнными значениями, отбрасываем. Это и есть «посторонние корни».

Пример по шагам

\[ \frac{x}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}=1 \]

Шаг 1–2. Знаменатели: \(x-2\) и \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).

ОДЗ: \(x \neq 2,\; x \neq -2\).

Шаг 3. Общий знаменатель \((x-2)(x+2)\). Умножаем обе части:

\[ x(x+2)-4=(x-2)(x+2) \]

Шаг 4. Раскрываем скобки:

\[ x^2+2x-4=x^2-4 \]

\[ 2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \]

Шаг 5. \(x=0\) не входит в запрещённые значения — подходит.

Ответ: \(x=0\).

Проверка: \(\dfrac{0}{-2}-\dfrac{4}{-4}=0-(-1)=1\) ✓

Ловушка: когда корней нет

\[ \frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1} \]

ОДЗ: \(x\neq1\). Умножаем на \(x-1\):

\[ x=1 \]

Но \(x=1\) запрещён, значит это посторонний корень.

Ответ: корней нет.

Именно поэтому шаг 5 нельзя пропускать: умножение на выражение с переменной может «придумать» лишний корень.

Частые ошибки

• Забыли ОДЗ — и записали посторонний корень в ответ. Самая частая ошибка.
• Сократили дробь на выражение с \(x\) — так теряется запрещённое значение или корень. Сокращать можно только после записи ОДЗ.
• «Знаменатель равен нулю» — дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Не наоборот.
• Умножили только часть слагаемых на общий знаменатель — умножать нужно обе части целиком.

Пришли своё уравнение из учебника — разберём его по этим шагам и проверим ответ.