Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

Корни уравнения: x₁ = 2, x₂ = 3.

Как решать: способ 1 — разложение на множители

Ищем два числа, которые в сумме дают 5 (взятое с минусом из −5x), а в произведении — 6 (свободный член). Это 2 и 3:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2; \qquad x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Способ 2 — через дискриминант (универсальный)

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$$

$$x_1 = \frac{6}{2} = 3, \qquad x_2 = \frac{4}{2} = 2$$

Проверка (теорема Виета)

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0: сумма корней равна −p = 5, произведение равно q = 6.

$$2 + 3 = 5 \checkmark \qquad 2 \cdot 3 = 6 \checkmark$$

Подстановкой тоже всё сходится: 2² − 5·2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0; 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0.

Принцип: если корни целые, быстрее всего угадать их по Виету (сумма и произведение); если не угадываются — дискриминант работает всегда.