Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$
Как это получить
Способ 1. Разложение на множители (самый быстрый здесь).
Ищем два числа, которые в сумме дают $-(-5)=5$, а в произведении $6$. Это $2$ и $3$. Значит:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
$$x-2=0 \Rightarrow x=2; \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3$$
Идея, которую важно запомнить: для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$ множители имеют вид $(x-a)(x-b)$, где $a+b=-p$, $ab=q$.
Способ 2. Через дискриминант (работает всегда).
$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm1}{2}$$
$$x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2$$
Способ 3. Теорема Виета (удобно для приведённых уравнений).
$$x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6$$
Подбираем пару: $2$ и $3$. Подходит — сумма $5$, произведение $6$.
Проверка
Подставим корни в исходное уравнение:
- $x=2$: $4-10+6=0$ ✔
- $x=3$: $9-15+6=0$ ✔
- По Виету: $2+3=5$ и $2\cdot3=6$ ✔
Ответ: $x=2$ или $x=3$.
Обсуждение
2 сообщенияОткуда берётся формула дискриминанта?
Коротко
Формула дискриминанта — это не отдельное «правило из учебника», а то, что получается, если в общем уравнении $ax^2+bx+c=0$ выделить полный квадрат. Дискриминант $D=b^2-4ac$ — это числитель, который остаётся справа; от его знака зависит, можно ли извлечь корень.
Вывод шаг за шагом
1. Общий вид. Берём $ax^2+bx+c=0$, причём $a\neq 0$ (иначе уравнение не квадратное).
2. Убираем $a$ из старшего члена. Делим всё уравнение на $a$:
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$
3. Выделяем полный квадрат. Нам нужна скобка вида $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$. Раскроем её:
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}$$
Сравните с нашим уравнением: первые два слагаемых совпадают. Значит, можно переписать так:
$$\underbrace{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}}_{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0$$
4. Переносим «лишнее» вправо и приводим к общему знаменателю:
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$
Вот здесь и появляется $b^2-4ac$. Обозначаем его буквой $D$:
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{D}{4a^2}$$
5. Почему важен именно знак $D$. Слева стоит квадрат, а квадрат не бывает отрицательным. Справа знаменатель $4a^2>0$ при любом $a\neq0$, поэтому знак всей дроби — это знак числителя $D$:
- $D>0$ — справа положительное число, корень извлекается в двух знаках: два решения;
- $D=0$ — справа ноль, квадрат равен нулю только при $x=-\dfrac{b}{2a}$: одно решение (двойной корень);
- $D<0$ — справа отрицательное число, а квадрат равен отрицательному быть не может: действительных корней нет.
6. Получаем формулу корней. Извлекаем корень (появляется $\pm$):
$$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$
Техническая деталь: строго говоря, $\sqrt{4a^2}=2|a|$, но знак модуля «поглощается» знаком $\pm$ — множество значений $\pm\dfrac{\sqrt{D}}{2|a|}$ и $\pm\dfrac{\sqrt{D}}{2a}$ одно и то же, поэтому в формуле пишут $2a$.
Проверка на нашем уравнении
$$x^2-5x+6=0:\quad a=1,; b=-5,; c=6$$
$$D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$
$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{1}{4};\Rightarrow; x-\frac{5}{2}=\pm\frac{1}{2};\Rightarrow; x=3 \text{ или } x=2$$
Совпадает с ответом из предыдущего сообщения.
Геометрический смысл (полезно держать в голове)
График $y=ax^2+bx+c$ — парабола с вершиной в точке $x_0=-\dfrac{b}{2a}$; именно эта точка и стоит в скобке $\left(x+\frac{b}{2a}\right)$. Значение функции в вершине равно $-\dfrac{D}{4a}$. Поэтому:
- $D>0$ — вершина ниже (или выше, если ветви вниз) оси $Ox$, парабола пересекает её в двух точках;
- $D=0$ — вершина лежит на оси, касание в одной точке;
- $D<0$ — парабола ось не пересекает.
Для $x^2-5x+6$: вершина при $x=2{,}5$, значение там $-0{,}25$, то есть парабола заныривает под ось и пересекает её в $2$ и $3$ — ровно наши корни.
Итог: дискриминант — это выражение $b^2-4ac$, возникающее при выделении полного квадрата; оно показывает, сколько раз парабола пересекает ось $Ox$, а формула корней — просто результат извлечения квадратного корня из обеих частей.
