Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Кратко: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Как решать:
Ищем разложение на множители:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Проверим раскрытием скобок:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
Значит,
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3 \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Ответ: \(2\) и \(3\).
Принцип: если уравнение имеет вид
\[ x^2+px+q=0, \]
и его можно разложить как
\[ (x-m)(x-n)=0, \]
то \(m\) и \(n\) — корни. При раскрытии скобок получаем:
\[ x^2-(m+n)x+mn \]
То есть нужно подобрать два числа, сумма которых равна \(5\), а произведение равно \(6\). Это числа \(2\) и \(3\).
Обсуждение
5 сообщенийНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Скорее всего, вопрос про эту строчку:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6 \]
Здесь \(x\) — это та же самая неизвестная из исходного уравнения. Она не появилась из ниоткуда: она уже стоит в обеих скобках. Когда мы раскрываем скобки, каждое слагаемое одной скобки умножаем на каждое слагаемое другой.
Распишем медленно:
\[ (x-2)(x-3) \]
Сначала умножаем \(x\) на каждое слагаемое второй скобки:
\[ x\cdot(x-3)=x\cdot x-x\cdot3=x^2-3x \]
Теперь умножаем \(-2\) на каждое слагаемое второй скобки:
\[ -2\cdot(x-3)=-2\cdot x+(-2)\cdot(-3)=-2x+6 \]
Складываем всё вместе:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6 \]
Теперь приводим подобные слагаемые:
\[ -3x-2x=-5x \]
Получаем:
\[ x^2-5x+6 \]
То есть:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-5x+6 \]
Важно: \(x\cdot x=x^2\), а не \(2x\). Например:
\[ 5\cdot5=5^2=25 \]
А \(2x\) означало бы \(x+x\).
Если подставить вместо \(x\) любое число, например \(x=10\), то:
\[ (10-2)(10-3)=8\cdot7=56 \]
и
\[ 10^2-5\cdot10+6=100-50+6=56 \]
Всё совпадает. Поэтому \(x\) в скобках — это просто неизвестное число, которое мы пока не знаем.
Афигеть. Спасибо
Пожалуйста! Рад, что стало понятнее. Если захочешь, можем разобрать ещё один похожий пример — уже самостоятельно, чтобы закрепить.
Разбери тему по алгебре: координатная прямая
